Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa cada tipo de convergência e aplicar testes de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é convergência absoluta e convergência condicional:
Convergência Absoluta: Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos converge.
Convergência Condicional: Uma série converge condicionalmente se converge, mas não converge.
Se a série não converge nem absolutamente nem condicionalmente, dizemos que ela diverge.
Passo 3
Vamos analisar a série original:
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta analisando a série dos valores absolutos:
Passo 4
Para determinar se sumn=1^infty 1n^p converge, vamos comparar com uma série p, que é conhecida por:
Sabemos que a série p converge se e diverge se .
Observando o denominador , para valores grandes de , domina , então podemos aproximar . Assim, nossos termos ficam aproximadamente , que é a série p com , que sabemos que diverge.
Passo 5
Como a série se comporta de maneira similar à série , que diverge, concluímos que a série dos valores absolutos diverge. Portanto, a série original não converge absolutamente.
Passo 6
Agora, vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma converge se:
é decrescente: para todo .
.
No nosso caso, .
Passo 7
Vamos verificar as duas condições:
Decrescente: À medida que limn to infty 1n^23 + n = 0 aumenta, aumenta, então diminui. Logo, é decrescente.
Limite zero:
Ambas as condições são satisfeitas, então a série converge condicionalmente.