Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(j) sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^23+n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a série
sumn=1^infty (-1)^n-1 1n^23 + n
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa cada tipo de convergência e aplicar testes de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é convergência absoluta e convergência condicional:
  • Convergência Absoluta: Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos converge.
  • Convergência Condicional: Uma série converge condicionalmente se converge, mas não converge.
Se a série não converge nem absolutamente nem condicionalmente, dizemos que ela diverge.

Passo 3

Vamos analisar a série original:
sumn=1^infty (-1)^n-1 1n^23 + n
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta analisando a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n-1 1n^23 + n | = sumn=1^infty 1n^23 + n

Passo 4

Para determinar se sumn=1^infty 1n^p converge, vamos comparar com uma série p, que é conhecida por:
Sabemos que a série p converge se e diverge se .
Observando o denominador , para valores grandes de , domina , então podemos aproximar . Assim, nossos termos ficam aproximadamente , que é a série p com , que sabemos que diverge.

Passo 5

Como a série se comporta de maneira similar à série , que diverge, concluímos que a série dos valores absolutos diverge. Portanto, a série original não converge absolutamente.

Passo 6

Agora, vamos verificar a convergência condicional usando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma converge se:
  1. é decrescente: para todo .
  2. .
No nosso caso, .

Passo 7

Vamos verificar as duas condições:
  1. Decrescente: À medida que limn to infty 1n^23 + n = 0 aumenta, aumenta, então diminui. Logo, é decrescente.
  2. Limite zero:
Ambas as condições são satisfeitas, então a série converge condicionalmente.

Resposta

A série
sumn=1^infty (-1)^n-1 1n^23 + n
é condicionalmente convergente.

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