Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(g) sumn=1^infty(-1)^n-1 3^nn!

Passo 1

Então, a gente precisa verificar se a série sumn=1^infty(-1)^n-1 3^nn! é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso faz parte do estudo de convergência de séries. Para resolver, vamos precisar avaliar como os termos da série se comportam quando somados infinitamente, e vamos usar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, a gente tira o valor absoluto dos termos e olha se a série sumn=1^infty |(-1)^n-1 3^nn!| = sumn=1^infty 3^nn! converge.

Passo 3

Observando a série sumn=1^infty 3^nn!, a gente reconhece que ela se parece com a série da função exponencial e^x = sumn=0^infty x^nn!. Sabemos que essa série converge para qualquer valor real de x. Então, com x=3, a série sumn=1^infty 3^nn! também converge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original sumn=1^infty(-1)^n-1 3^nn! é absolutamente convergente. E lembre-se, se uma série é absolutamente convergente, ela também é convergente de forma condicional.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n-1 3^nn! é absolutamente convergente.

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Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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{ dx/dt = 2x + 2y, dy/dt = -2x + 2y }
(f) y^(log_3(2))=2