Considere o sistemas de duas massas conectados por um fio inextensível tal que a massa
se move sem atrito sobre a mesa horizontal e a massa
, pendurada através de um furo no centro da mesa, só pode movimentar-se verticalmente. Use o método dos multiplicadores de Lagrange para obter as equações de movimento do sistema e a tensão no fio.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. Temos duas massas ligadas por um fio que não estica. A massa
está deslizando sem atrito sobre uma mesa horizontal, enquanto a massa
está pendurada e só pode se mover para cima e para baixo através de um furo no centro da mesa. A gente vai usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica da mecânica Lagrangiana para lidar com sistemas que têm restrições, para encontrar as equações de movimento desse sistema e também calcular a tensão no fio.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as coordenadas que vão descrever o movimento das massas. Vamos chamar:
-
da posição horizontal de na mesa. -
da posição vertical de em relação ao furo na mesa.
Como o fio é inextensível, a distância total do fio permanece constante. Isso nos dá uma relação de restrição entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos escrever as energias cinética e potencial do sistema. A energia cinética total
é a soma das energias cinéticas das duas massas:
A energia potencial
vem apenas da massa
que está sob a ação da gravidade:
Passo 4
Agora, temos que considerar a restrição imposta pelo fio inextensível. Se o comprimento total do fio é
, então:
Mas para simplificar, podemos considerar
no ponto de referência e reescrever a restrição como:
Isso nos ajudará a relacionar
e
durante o movimento.
Passo 5
Vamos montar o lagrangiano do sistema, que é
:
Agora, introduzimos um multiplicador de Lagrange
para incorporar a restrição:
Passo 6
Aplicamos as equações de Euler-Lagrange para
e
:
Para
:
Para
:
Agora, resolvemos essas equações para encontrar as equações de movimento e a tensão no fio, que está relacionada ao multiplicador
.
Resposta
As equações de movimento do sistema são:
E a tensão
no fio é dada por:
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