Considere o sistemas de duas massas conectados por um fio inextensível tal que a massa se move sem atrito sobre a mesa horizontal e a massa , pendurada através de um furo no centro da mesa, só pode movimentar-se verticalmente. Use o método dos multiplicadores de Lagrange para obter as equações de movimento do sistema e a tensão no fio.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. Temos duas massas ligadas por um fio que não estica. A massa está deslizando sem atrito sobre uma mesa horizontal, enquanto a massa está pendurada e só pode se mover para cima e para baixo através de um furo no centro da mesa. A gente vai usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica da mecânica Lagrangiana para lidar com sistemas que têm restrições, para encontrar as equações de movimento desse sistema e também calcular a tensão no fio.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as coordenadas que vão descrever o movimento das massas. Vamos chamar:
  • da posição horizontal de na mesa.
  • da posição vertical de em relação ao furo na mesa.
Como o fio é inextensível, a distância total do fio permanece constante. Isso nos dá uma relação de restrição entre e .

Passo 3

Agora, vamos escrever as energias cinética e potencial do sistema. A energia cinética total é a soma das energias cinéticas das duas massas:
A energia potencial vem apenas da massa que está sob a ação da gravidade:

Passo 4

Agora, temos que considerar a restrição imposta pelo fio inextensível. Se o comprimento total do fio é , então:
Mas para simplificar, podemos considerar no ponto de referência e reescrever a restrição como:
Isso nos ajudará a relacionar e durante o movimento.

Passo 5

Vamos montar o lagrangiano do sistema, que é :
Agora, introduzimos um multiplicador de Lagrange para incorporar a restrição:

Passo 6

Aplicamos as equações de Euler-Lagrange para e :
Para :
Para :
Agora, resolvemos essas equações para encontrar as equações de movimento e a tensão no fio, que está relacionada ao multiplicador .

Resposta

As equações de movimento do sistema são:
E a tensão no fio é dada por:

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