Considere o sistemas de duas massas conectados por um fio inextensível tal que a massa m2 se move sem atrito sobre a mesa horizontal e a massa m1, pendurada através de um furo no centro da mesa, só pode movimentar-se verticalmente. Use o método dos multiplicadores de Lagrange para obter as equações de movimento do sistema e a tensão no fio.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. Temos duas massas ligadas por um fio que não estica. A massa está deslizando sem atrito sobre uma mesa horizontal, enquanto a massa está pendurada e só pode se mover para cima e para baixo através de um furo no centro da mesa. A gente vai usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica da mecânica Lagrangiana para lidar com sistemas que têm restrições, para encontrar as equações de movimento desse sistema e também calcular a tensão no fio.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as coordenadas que vão descrever o movimento das massas. Vamos chamar:
  • da posição horizontal de na mesa.
  • da posição vertical de em relação ao furo na mesa.
Como o fio é inextensível, a distância total do fio permanece constante. Isso nos dá uma relação de restrição entre e .

Passo 3

Agora, vamos escrever as energias cinética e potencial do sistema. A energia cinética total T = 12 m1 ( dydt )^2 + 12 m2 ( dxdt )^2 é a soma das energias cinéticas das duas massas:
V = m1 g y
A energia potencial vem apenas da massa que está sob a ação da gravidade:

Passo 4

Agora, temos que considerar a restrição imposta pelo fio inextensível. Se o comprimento total do fio é x^2 + y^2 = L^2 , então:
x^2 + y^2 = constante
Mas para simplificar, podemos considerar no ponto de referência e reescrever a restrição como:
Isso nos ajudará a relacionar e durante o movimento.

Passo 5

Vamos montar o lagrangiano do sistema, que é L = 12 m1 ( dydt )^2 + 12 m2 ( dxdt )^2 - m1 g y :
L' = L + lambda (x^2 + y^2 - L^2)
Agora, introduzimos um multiplicador de Lagrange para incorporar a restrição:

Passo 6

Aplicamos as equações de Euler-Lagrange para ddt ( m2 dxdt ) - 2lambda x = 0 Rightarrow m2 d^2xdt^2 = 2lambda x e ddt ( m1 dydt ) - m1 g - 2lambda y = 0 Rightarrow m1 d^2ydt^2 = m1 g + 2lambda y :
Para :
Para :
Agora, resolvemos essas equações para encontrar as equações de movimento e a tensão no fio, que está relacionada ao multiplicador .

Resposta

As equações de movimento do sistema são:
m2 d^2xdt^2 = 2lambda x
m1 d^2ydt^2 = m1 g + 2lambda y
E a tensão T = 2lambda no fio é dada por:

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