Considere os sistemas lineares abaixo. Encontre os valores de
e
usando a Regra de Cramer.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. Primeiro, vamos entender o que temos:
Essa é uma questão de sistemas lineares na área de álgebra linear. Para usar a Regra de Cramer, precisamos calcular determinantes de matrizes.
Passo 2
Vamos começar montando a matriz dos coeficientes do sistema. Ela é:
Precisamos calcular o determinante dessa matriz, que vamos chamar de
.
Passo 3
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Para a nossa matriz:
Então:
Passo 4
Agora, para encontrar o valor de
Ax = 10 & 1 & -2 1 & 2 & 2 4 & 4 & 3 , substituímos a coluna dos
pelos termos independentes do sistema. A nova matriz
fica:
Vamos calcular
.
Passo 5
Calculando o determinante de
det(Ax) = 10(2 cdot 3 - 2 cdot 4) - 1(1 cdot 3 - 2 cdot 4) + (-2)(1 cdot 4 - 2 cdot 4) :
Passo 6
Agora, o valor de
x = det(Ax)det(A) = -7-7 = 1 é dado por:
Passo 7
Para encontrar
Ay = 2 & 10 & -2 3 & 1 & 2 5 & 4 & 3 , substituímos a coluna dos
pelos termos independentes. A matriz
fica:
Vamos calcular
.
Passo 8
Calculando o determinante de
det(Ay) = 2(1 cdot 3 - 2 cdot 4) - 10(3 cdot 3 - 2 cdot 5) + (-2)(3 cdot 4 - 1 cdot 5) :
Passo 9
Então, o valor de
y = det(Ay)det(A) = -14-7 = 2 é:
Passo 10
Por fim, para encontrar
Az = 2 & 1 & 10 3 & 2 & 1 5 & 4 & 4 , substituímos a coluna dos
pelos termos independentes. A matriz
fica:
Vamos calcular
.
Passo 11
Calculando o determinante de
det(Az) = 2(2 cdot 4 - 1 cdot 4) - 1(3 cdot 4 - 1 cdot 5) + 10(3 cdot 4 - 2 cdot 5) :
Resposta
Os valores que resolvem o sistema são: