Considere os sistemas lineares abaixo. Encontre os valores de x, y e z usando a Regra de Cramer.
ll 2 x+y-2 z= & 10 3 x+2 y+2 z= & 1 5 x+4 y+3 z= & 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. Primeiro, vamos entender o que temos:
ll 2x + y - 2z = 10 3x + 2y + 2z = 1 5x + 4y + 3z = 4
Essa é uma questão de sistemas lineares na área de álgebra linear. Para usar a Regra de Cramer, precisamos calcular determinantes de matrizes.

Passo 2

Vamos começar montando a matriz dos coeficientes do sistema. Ela é:
A = 2 & 1 & -2 3 & 2 & 2 5 & 4 & 3
Precisamos calcular o determinante dessa matriz, que vamos chamar de .

Passo 3

O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Para a nossa matriz:
a = 2, b = 1, c = -2 d = 3, e = 2, f = 2 g = 5, h = 4, i = 3
Então:
det(A) = 2(2 cdot 3 - 2 cdot 4) - 1(3 cdot 3 - 2 cdot 5) + (-2)(3 cdot 4 - 2 cdot 5)
det(A) = 2(6 - 8) - 1(9 - 10) - 2(12 - 10)
det(A) = 2(-2) - 1(-1) - 2(2)
det(A) = -4 + 1 - 4 = -7

Passo 4

Agora, para encontrar o valor de Ax = 10 & 1 & -2 1 & 2 & 2 4 & 4 & 3 , substituímos a coluna dos pelos termos independentes do sistema. A nova matriz fica:
Vamos calcular .

Passo 5

Calculando o determinante de det(Ax) = 10(2 cdot 3 - 2 cdot 4) - 1(1 cdot 3 - 2 cdot 4) + (-2)(1 cdot 4 - 2 cdot 4) :
det(Ax) = 10(6 - 8) - 1(3 - 8) - 2(4 - 8)
det(Ax) = 10(-2) - 1(-5) - 2(-4)
det(Ax) = -20 + 5 + 8 = -7

Passo 6

Agora, o valor de x = det(Ax)det(A) = -7-7 = 1 é dado por:

Passo 7

Para encontrar Ay = 2 & 10 & -2 3 & 1 & 2 5 & 4 & 3 , substituímos a coluna dos pelos termos independentes. A matriz fica:
Vamos calcular .

Passo 8

Calculando o determinante de det(Ay) = 2(1 cdot 3 - 2 cdot 4) - 10(3 cdot 3 - 2 cdot 5) + (-2)(3 cdot 4 - 1 cdot 5) :
det(Ay) = 2(3 - 8) - 10(9 - 10) - 2(12 -5)
det(Ay) = 2(-5) - 10(-1) - 2(7)
det(Ay) = -10 + 10 -14 = -14

Passo 9

Então, o valor de y = det(Ay)det(A) = -14-7 = 2 é:

Passo 10

Por fim, para encontrar Az = 2 & 1 & 10 3 & 2 & 1 5 & 4 & 4 , substituímos a coluna dos pelos termos independentes. A matriz fica:
Vamos calcular .

Passo 11

Calculando o determinante de det(Az) = 2(2 cdot 4 - 1 cdot 4) - 1(3 cdot 4 - 1 cdot 5) + 10(3 cdot 4 - 2 cdot 5) :
det(Az) = 2(8 - 4) - 1(12 -5) + 10(12 -10)
det(Az) = 2(4) - 1(7) + 10(2)
det(Az) = 8 -7 +20 =21

Resposta

Os valores que resolvem o sistema são:
x = 1, y = 2, z = 3

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