Consideremos os vetores u=(1,-3,2) e v=(2,-1,1) do R^3.
a) Escreva (1,7,-4) como combinação linear de u e v.
b) Escreva (2,-5,4) como combinação linear de u e v.
c) Para que valores de k,(1, k, 5) é uma combinação linear de u e v ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional, ou seja, no R^3: u = (1, -3, 2) e v = (2, -1, 1). A tarefa é expressar outros vetores como combinações lineares desses dois vetores. Isso significa que queremos encontrar coeficientes que, quando multiplicados por u e v e somados, resultem no vetor que queremos. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, especificamente resolver sistemas de equações lineares.

Passo 2

Vamos começar pela parte a) do exercício: Escreva (1, 7, -4) como combinação linear de u e v.
Passo 2.1: Primeiro, vamos supor que existe uma combinação linear que dá o vetor (1, 7, -4). Ou seja, queremos encontrar números a e b tais que:
a cdot u + b cdot v = (1, 7, -4)
Substituindo os valores de u e v:
a cdot (1, -3, 2) + b cdot (2, -1, 1) = (1, 7, -4)
Passo 2.2: Isso nos dá um sistema de equações:
a cdot 1 + b cdot 2 = 1 a cdot (-3) + b cdot (-1) = 7 a cdot 2 + b cdot 1 = -4
Passo 2.3: Vamos resolver esse sistema. Podemos simplificar as equações:
  1. a + 2b = 1 (Equação 1)
  2. -3a - b = 7 (Equação 2)
  3. 2a + b = -4 (Equação 3)
Vamos resolver as Equações 1 e 2:
Multiplicando a Equação 1 por 3:
3a + 6b = 3
Adicionando à Equação 2:
(3a + 6b) + (-3a - b) = 3 + 7
5b = 10
Então, b = 2
Substituindo b = 2 na Equação 1:
a + 2 cdot 2 = 1
a + 4 = 1
a = -3
Passo 2.4: Portanto, encontramos a = -3 e b = 2.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): Escreva (2, -5, 4) como combinação linear de u e v.
Passo 3.1: Queremos encontrar a e b tais que:
a cdot u + b cdot v = (2, -5, 4)
Substituindo os valores de u e v:
a cdot (1, -3, 2) + b cdot (2, -1, 1) = (2, -5, 4)
Passo 3.2: Isso nos dá o sistema de equações:
a + 2b = 2 (Equação 1) -3a - b = -5 (Equação 2) 2a + b = 4 (Equação 3) çãçãçã
Passo 3.3: Vamos resolver as Equações 1 e 2:
Multiplicando a Equação 1 por 3:
3a + 6b = 6
Adicionando à Equação 2:
(3a + 6b) + (-3a - b) = 6 + (-5)
5b = 1
Então, b = 15
Substituindo b = 15 na Equação 1:
a + 2 cdot 15 = 2
a + 25 = 2
a = 2 - 25 = 105 - 25 = 85
Passo 3.4: Portanto, encontramos a = 85 e b = 15.

Passo 4

Por fim, vamos para a parte c): Para que valores de k, (1, k, 5) é uma combinação linear de u e v?
Passo 4.1: Queremos encontrar a e b para que:
a cdot u + b cdot v = (1, k, 5)
Substituindo u e v:
a cdot (1, -3, 2) + b cdot (2, -1, 1) = (1, k, 5)
Passo 4.2: Isso resulta no sistema de equações:
a + 2b = 1 (Equação 1) -3a - b = k (Equação 2) 2a + b = 5 (Equação 3) çãçãçã
Passo 4.3: Vamos resolver as Equações 1 e 3:
Da Equação 1:
a = 1 - 2b
Substituindo na Equação 3:
2(1 - 2b) + b = 5
2 - 4b + b = 5
2 - 3b = 5
-3b = 3
b = -1
Agora, substituindo b = -1 na Equação 1:
a = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3
Passo 4.4: Agora, substituímos a = 3 e b = -1 na Equação 2 para encontrar k:
-3(3) - (-1) = -9 + 1 = -8
Então, k = -8

Resposta

a) (1, 7, -4) = -3u + 2v
b) (2, -5, 4) = dfrac85u + dfrac15v
c) Para k = -8, (1, -8, 5) é uma combinação linear de u e v

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