Consideremos os vetores e do .
a) Escreva como combinação linear de e .
b) Escreva como combinação linear de e .
c) Para que valores de é uma combinação linear de e ?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois vetores no espaço tridimensional, ou seja, no : e . A tarefa é expressar outros vetores como combinações lineares desses dois vetores. Isso significa que queremos encontrar coeficientes que, quando multiplicados por e e somados, resultem no vetor que queremos. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, especificamente resolver sistemas de equações lineares.
Passo 2
Vamos começar pela parte a) do exercício: Escreva como combinação linear de e .
Passo 2.1: Primeiro, vamos supor que existe uma combinação linear que dá o vetor . Ou seja, queremos encontrar números e tais que:
Substituindo os valores de e :
Passo 2.2: Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 2.3: Vamos resolver esse sistema. Podemos simplificar as equações:
(Equação 1)
(Equação 2)
(Equação 3)
Vamos resolver as Equações 1 e 2:
Multiplicando a Equação 1 por 3:
Adicionando à Equação 2:
Então,
Substituindo na Equação 1:
Passo 2.4: Portanto, encontramos e .
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): Escreva como combinação linear de e .
Passo 3.1: Queremos encontrar e tais que:
Substituindo os valores de e :
Passo 3.2: Isso nos dá o sistema de equações:
çãçãçã
Passo 3.3: Vamos resolver as Equações 1 e 2:
Multiplicando a Equação 1 por 3:
Adicionando à Equação 2:
Então,
Substituindo na Equação 1:
Passo 3.4: Portanto, encontramos e .
Passo 4
Por fim, vamos para a parte c): Para que valores de , é uma combinação linear de e ?
Passo 4.1: Queremos encontrar e para que:
Substituindo e :
Passo 4.2: Isso resulta no sistema de equações:
çãçãçã
Passo 4.3: Vamos resolver as Equações 1 e 3:
Da Equação 1:
Substituindo na Equação 3:
Agora, substituindo na Equação 1:
Passo 4.4: Agora, substituímos e na Equação 2 para encontrar :