(ENADE 2008)Considere o sistema de equações a seguir.
Analise as asserções seguintes relativas à resolução desse sistema de equações lineares. O sistema não tem solução
porque
o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero.
A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta.
A) As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.
C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
E) Ambas as asserções são proposições falsas.
Passo 1
Então, galera! A gente tem aqui um sistema de equações com três incógnitas:
l x + y + z = 1 2x + 2y + 2z = 4 3x + 3y + 4z = 5
A pergunta quer saber se o sistema não tem solução porque o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero. Vamos resolver isso passo a passo usando conceitos de álgebra linear e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 3 & 3 & 4
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
onde:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 1(2 times 4 - 2 times 3) - 1(2 times 4 - 2 times 3) + 1(2 times 3 - 2 times 3)
det(A) = 1(8 - 6) - 1(8 - 6) + 1(6 - 6)
det(A) = 1(2) - 1(2) + 1(0) = 2 - 2 + 0 = 0
Passo 4
O determinante deu zero. Isso significa que a matriz dos coeficientes é singular, ou seja, o sistema não tem uma solução única. Mas isso pode significar duas coisas:
Sistema incompatível: nenhuma solução.
Sistema indeterminado: infinitas soluções.
Passo 5
Vamos verificar se o sistema é incompatível ou indeterminado. Observando as equações:
Primeira equação: x + y + z = 1
Segunda equação: 2x + 2y + 2z = 4, que simplifica para x + y + z = 2
Temos uma contradição: x + y + z não pode ser 1 e 2 ao mesmo tempo. Portanto, o sistema é incompatível e não tem solução.
Passo 6
Agora, analisando a afirmação: “O sistema não tem solução porque o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero.”
Sabemos que o determinante zero indica que o sistema não tem uma solução única, podendo ser incompatível ou indeterminado. No nosso caso, o sistema é incompatível, mas o determinante zero sozinho não garante isso, já que também pode significar infinitas soluções.
Resposta
A opção correta é:
C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.