Quais das seguintes funções , definidas sobre vetores e em , são formas bilineares?

Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pergunta se a função , definida por
é uma forma bilinear. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre formas bilineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma forma bilinear e verificar se a função satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada uma.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que é uma forma bilinear. Basicamente, uma forma bilinear é uma função que recebe dois vetores e retorna um número real, sendo linear em cada um dos vetores separadamente. Isso significa que, se fixarmos um dos vetores, a função deve se comportar como uma função linear em relação ao outro vetor.
Mais formalmente, uma função é bilinear se, para todos os vetores e e para todos os escalares e , as seguintes propriedades de linearidade são verdadeiras:

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada:
Para verificar se é bilinear, precisamos testar se ela é linear em e depois em .

Passo 4

Teste de linearidade em :
Vamos fixar e ver se é linear em .
Considere dois vetores e , e um escalar . Se for linear em , deve valer:
Vamos calcular :
Expandindo o quadrado:
E o segundo termo:
Então, resulta em termos quadráticos e cruza, o que já sugere que não é linear em .

Passo 5

Teste de linearidade em :
Mesmo se tentarmos verificar a linearidade em , já vimos que a presença do termo introduz termos quadráticos que violam a linearidade.

Passo 6

Conclusão:
Como a função não é linear em (e também não em ), ela não é uma forma bilinear.

Resposta

A função não é uma forma bilinear.

Exercícios relacionados

Consideremos os vetores e do .
a) Escreva como combinação linear de e .
b) Escreva como combinação linear de e .
c) Para que valores de é uma combinação linear de e ?
Determine se e são linearmente dependentes ou não:
Considere os sistemas lineares abaixo. Encontre os valores de e usando a Regra de Cramer.
(2,0) Verifique se os vetores e são LI ou LD.