Quais das seguintes funções , definidas sobre vetores e em , são formas bilineares?
Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pergunta se a função , definida por
é uma forma bilinear. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre formas bilineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma forma bilinear e verificar se a função satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada uma.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que é uma forma bilinear. Basicamente, uma forma bilinear é uma função que recebe dois vetores e retorna um número real, sendo linear em cada um dos vetores separadamente. Isso significa que, se fixarmos um dos vetores, a função deve se comportar como uma função linear em relação ao outro vetor.
Mais formalmente, uma função é bilinear se, para todos os vetores e e para todos os escalares e , as seguintes propriedades de linearidade são verdadeiras:
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dada:
Para verificar se é bilinear, precisamos testar se ela é linear em e depois em .
Passo 4
Teste de linearidade em :
Vamos fixar e ver se é linear em .
Considere dois vetores e , e um escalar . Se for linear em , deve valer:
Vamos calcular :
Expandindo o quadrado:
E o segundo termo:
Então, resulta em termos quadráticos e cruza, o que já sugere que não é linear em .
Passo 5
Teste de linearidade em :
Mesmo se tentarmos verificar a linearidade em , já vimos que a presença do termo introduz termos quadráticos que violam a linearidade.
Passo 6
Conclusão:
Como a função não é linear em (e também não em ), ela não é uma forma bilinear.