Quais das seguintes funções f, definidas sobre vetores alpha=(x1, x2) e beta=(y1, y2) em R^2, são formas bilineares?
f(alpha, beta)=(x1-y1)^2+x2 y2
Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pergunta se a função f(alpha, beta) = (x1 - y1)^2 + x2 y2 , definida por
é uma forma bilinear. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre formas bilineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma forma bilinear e verificar se a função satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada uma.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que é uma forma bilinear. Basicamente, uma forma bilinear é uma função que recebe dois vetores e retorna um número real, sendo linear em cada um dos vetores separadamente. Isso significa que, se fixarmos um dos vetores, a função deve se comportar como uma função linear em relação ao outro vetor.
Mais formalmente, uma função é bilinear se, para todos os vetores e e para todos os escalares e , as seguintes propriedades de linearidade são verdadeiras:

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada:
f(alpha, beta) = (x1 - y1)^2 + x2 y2
Para verificar se é bilinear, precisamos testar se ela é linear em e depois em .

Passo 4

Teste de linearidade em f(aalpha + balpha', beta) = a f(alpha, beta) + b f(alpha', beta) :
Vamos fixar f(aalpha + balpha', beta) = ( a x1 + b x'1 - y1 )^2 + (a x2 + b x'2) y2 e ver se ( a x1 + b x'1 - y1 )^2 = a^2 x1^2 + 2 a b x1 x'1 + b^2 x'1^2 - 2 a x1 y1 - 2 b x'1 y1 + y1^2 é linear em (a x2 + b x'2) y2 = a x2 y2 + b x'2 y2 .
Considere dois vetores e , e um escalar . Se for linear em , deve valer:
Vamos calcular :
Expandindo o quadrado:
E o segundo termo:
Então, resulta em termos quadráticos e cruza, o que já sugere que não é linear em .

Passo 5

Teste de linearidade em :
Mesmo se tentarmos verificar a linearidade em , já vimos que a presença do termo introduz termos quadráticos que violam a linearidade.

Passo 6

Conclusão:
Como a função não é linear em (e também não em ), ela não é uma forma bilinear.

Resposta

A função não é uma forma bilinear.

Exercícios relacionados