Quais das seguintes funções
, definidas sobre vetores
e
em
, são formas bilineares?
Justifique sua resposta.
Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pergunta se a função
, definida por
é uma forma bilinear. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre formas bilineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma forma bilinear e verificar se a função
satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada uma.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que é uma forma bilinear. Basicamente, uma forma bilinear é uma função que recebe dois vetores e retorna um número real, sendo linear em cada um dos vetores separadamente. Isso significa que, se fixarmos um dos vetores, a função deve se comportar como uma função linear em relação ao outro vetor.
Mais formalmente, uma função
é bilinear se, para todos os vetores
e
e para todos os escalares
e
, as seguintes propriedades de linearidade são verdadeiras:
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dada:
Para verificar se
é bilinear, precisamos testar se ela é linear em
e depois em
.
Passo 4
Teste de linearidade em
:
Vamos fixar
e ver se
é linear em
.
Considere dois vetores
e
, e um escalar
. Se
for linear em
, deve valer:
Vamos calcular
:
Expandindo o quadrado:
E o segundo termo:
Então,
resulta em termos quadráticos e cruza, o que já sugere que não é linear em
.
Passo 5
Teste de linearidade em
:
Mesmo se tentarmos verificar a linearidade em
, já vimos que a presença do termo
introduz termos quadráticos que violam a linearidade.
Passo 6
Conclusão:
Como a função
não é linear em
(e também não em
), ela não é uma forma bilinear.
Resposta
A função
não é uma forma bilinear.