Considere os sistemas lineares abaixo:
(i) l2 x+y+z=1 x+3 y+z=2 x+y+4 z=3
(ii) lx-2 y+z=12 2 x-4 y+2 z=1 x+y=0
(iii) l2 x-y+z=3 3 x-2 y-z=-1 2 x-y+3 z=7
Quais destes sistemas tem solução única?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar três sistemas de equações lineares e descobrir quais deles têm solução única. Isso envolve entender sobre sistemas lineares, soluções únicas, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para resolver isso, vamos precisar verificar se os sistemas têm uma única solução usando métodos como o cálculo do determinante ou análise de consistência das equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um sistema ter solução única. Em sistemas lineares, se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, o sistema tem uma solução única. Se o determinante for zero, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos aplicar isso em cada um dos três sistemas que temos.

Passo 3

Sistema (i):
2x + y + z = 1 x + 3y + z = 2 x + y + 4z = 3
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
A = 2 & 1 & 1 1 & 3 & 1 1 & 1 & 4
Vamos calcular o determinante de det(A) = 2(3 cdot 4 - 1 cdot 1) - 1(1 cdot 4 - 1 cdot 1) + 1(1 cdot 1 - 3 cdot 1) = 2(12 - 1) - 1(4 - 1) + 1(1 - 3) = 2(11) -1(3) +1(-2) = 22 - 3 - 2 = 17 :
Como o determinante é diferente de zero ( ), o sistema (i) tem solução única.

Passo 4

Sistema (ii):
x - 2y + z = 12 2x - 4y + 2z = 1 x + y = 0
Matriz dos coeficientes:
A = 1 & -2 & 1 2 & -4 & 2 1 & 1 & 0
Vamos calcular o determinante de det(A) = 1(-4 cdot 0 - 2 cdot 1) - (-2)(2 cdot 0 - 2 cdot 1) + 1(2 cdot 1 - (-4) cdot 1) = 1(0 - 2) - (-2)(0 - 2) + 1(2 + 4) = 1(-2) - (-2)(-2) + 1(6) = -2 - 4 + 6 = 0 :
2(x - 2y + z) = 2x - 4y + 2z = 1
O determinante é zero ( ), então o sistema (ii) pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução. Para determinar qual é o caso, vamos analisar as equações.
Observamos que a segunda equação é simplesmente o dobro da primeira:
No entanto, , então não há contradição. Além disso, a terceira equação pode ser usada para expressar uma variável em termos da outra, indicando que há infinitas soluções.
Portanto, o sistema (ii) não tem solução única.

Passo 5

Sistema (iii):
2x - y + z = 3 3x - 2y - z = -1 2x - y + 3z = 7
Matriz dos coeficientes:
A = 2 & -1 & 1 3 & -2 & -1 2 & -1 & 3
Vamos calcular o determinante de det(A) = 2(-2 cdot 3 - (-1) cdot (-1)) - (-1)(3 cdot 3 - (-1) cdot 2) + 1(3 cdot (-1) - (-2) cdot 2) = 2(-6 - 1) - (-1)(9 - (-2)) + 1(-3 - (-4)) = 2(-7) - (-1)(11) + 1(1) = -14 + 11 + 1 = -2 :
O determinante é diferente de zero ( ), então o sistema (iii) tem solução única.

Resposta

Os sistemas (i) e (iii) têm solução única, enquanto o sistema (ii) não possui solução única.

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