Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto S é um subespaço do espaço vetorial V.
(h) V=M3 e S=A in M3: A^T=-A (S é o conjunto das matrizes anti-simétricas)

Passo 1

Beleza, temos que verificar se o conjunto das matrizes anti-simétricas em é um subespaço do espaço vetorial . Vamos precisar entender o que é um subespaço e quais propriedades precisa cumprir para ser considerado um.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. não é vazio.
  2. Se e estão em , então também está em (fechamento sob adição).
  3. Se está em e é um escalar, então também está em (fechamento sob multiplicação por escalar).
Vamos verificar essas propriedades para o conjunto .

Passo 3

Primeiro, não é vazio porque a matriz zero satisfaz . Ou seja, a matriz zero está em .

Passo 4

Agora, vamos verificar o fechamento sob adição. Se (A + B)^T = A^T + B^T = -A + (-B) = -(A + B) e são anti-simétricas, então:
Assim, também é anti-simétrica, mantendo-se em .

Passo 5

Finalmente, vamos ver o fechamento sob multiplicação por escalar. Se (cA)^T = cA^T = c(-A) = -cA é anti-simétrica e é um escalar, então:
Portanto, também é anti-simétrica e está em .

Resposta

Sim, o conjunto das matrizes anti-simétricas em é um subespaço do espaço vetorial .

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A=(ll 1 & -1 1 & -1 ) B=(ll 2 & 0 1 & 1 ) C=(ccc 1 & 4 & 3 -1 & -2 & 0 2 & 2 & 3 )
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x1-2 x2+3 x3 & =11 4 x1+x2-x3 & =4 2 x1-x2+3 x3 & =10
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(i) l2 x+y+z=1 x+3 y+z=2 x+y+4 z=3
(ii) lx-2 y+z=12 2 x-4 y+2 z=1 x+y=0
(iii) l2 x-y+z=3 3 x-2 y-z=-1 2 x-y+3 z=7
Quais destes sistemas tem solução única?
Encontre todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos:
& 3 x1-5 x2+4 x3=0 & 5 x1+4 x3=0 & 2 x1+5 x2-2 x3=0