Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial .
(h) e (S é o conjunto das matrizes anti-simétricas)
Passo 1
Beleza, temos que verificar se o conjunto das matrizes anti-simétricas em é um subespaço do espaço vetorial . Vamos precisar entender o que é um subespaço e quais propriedades precisa cumprir para ser considerado um.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
não é vazio.
Se e estão em , então também está em (fechamento sob adição).
Se está em e é um escalar, então também está em (fechamento sob multiplicação por escalar).
Vamos verificar essas propriedades para o conjunto .
Passo 3
Primeiro, não é vazio porque a matriz zero satisfaz . Ou seja, a matriz zero está em .
Passo 4
Agora, vamos verificar o fechamento sob adição. Se e são anti-simétricas, então:
Assim, também é anti-simétrica, mantendo-se em .
Passo 5
Finalmente, vamos ver o fechamento sob multiplicação por escalar. Se é anti-simétrica e é um escalar, então:
Portanto, também é anti-simétrica e está em .
Resposta
Sim, o conjunto das matrizes anti-simétricas em é um subespaço do espaço vetorial .