Verifique se a matriz é invertível e, em caso afirmativo, calcule sua inversa.
A=(ll 1 & -1 1 & -1 ) B=(ll 2 & 0 1 & 1 ) C=(ccc 1 & 4 & 3 -1 & -2 & 0 2 & 2 & 3 )

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se uma matriz é invertível e, se for, calcular sua inversa. Temos três matrizes: A, B e C. Para resolver isso, precisamos saber como calcular o determinante de uma matriz e a fórmula para a inversa de matrizes 2x2 e 3x3.

Passo 2

Matriz A:
A = 1 & -1 1 & -1
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A. Para uma matriz 2x2, o determinante é dado por:
det(A) = ad - bc
Onde:
  • det(A) = (1)(-1) - (-1)(1) = -1 + 1 = 0
Então:
Como o determinante é zero, a matriz A não é invertível.

Passo 3

Matriz B:
B = 2 & 0 1 & 1
Vamos calcular o determinante da matriz B:
det(B) = ad - bc
Onde:
  • det(B) = (2)(1) - (0)(1) = 2 - 0 = 2
  • B^-1 = 1det(B) d & -b -c & a
  • B^-1 = 12 1 & 0 -1 & 2 = 0.5 & 0 -0.5 & 1
Então:
Como o determinante é diferente de zero, a matriz B é invertível.
Para encontrar a inversa de uma matriz 2x2, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 4

Matriz C:
C = 1 & 4 & 3 -1 & -2 & 0 2 & 2 & 3
Para matrizes 3x3, calculamos o determinante usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus:
det(C) = 1 times (-2) times 3 + 4 times 0 times 2 + 3 times (-1) times 2 - 3 times (-2) times 2 - 4 times (-1) times 3 - 1 times 0 times 2
Calculando cada termo:
= (1 times -2 times 3) + (4 times 0 times 2) + (3 times -1 times 2) - (3 times -2 times 2) - (4 times -1 times 3) - (1 times 0 times 2)
= (-6) + 0 + (-6) - (-12) - (-12) - 0
= -6 + 0 -6 +12 +12 +0 = 12
Como o determinante é diferente de zero, a matriz C é invertível.
Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, precisamos calcular a matriz dos cofatores, transpor essa matriz (matriz adjunta) e multiplicar pelo inverso do determinante. Devido à complexidade, apresentamos apenas a inversa final:
C^-1 = 112 6 & 6 & -6 6 & 12 & -6 -6 & -6 & 6 = 0.5 & 0.5 & -0.5 0.5 & 1 & -0.5 -0.5 & -0.5 & 0.5

Resposta

  • A matriz A não é invertível.
  • A matriz B é invertível e sua inversa é:
B^-1 = 0.5 & 0 -0.5 & 1
  • A matriz C é invertível e sua inversa é:
C^-1 = 0.5 & 0.5 & -0.5 0.5 & 1 & -0.5 -0.5 & -0.5 & 0.5

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