Verifique se a matriz é invertível e, em caso afirmativo, calcule sua inversa.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se uma matriz é invertível e, se for, calcular sua inversa. Temos três matrizes: A, B e C. Para resolver isso, precisamos saber como calcular o determinante de uma matriz e a fórmula para a inversa de matrizes 2x2 e 3x3.
Passo 2
Matriz A:
A = 1 & -1 1 & -1
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A. Para uma matriz 2x2, o determinante é dado por:
det(A) = ad - bc
Onde:
det(A) = (1)(-1) - (-1)(1) = -1 + 1 = 0
Então:
Como o determinante é zero, a matriz A não é invertível.
Passo 3
Matriz B:
B = 2 & 0 1 & 1
Vamos calcular o determinante da matriz B:
det(B) = ad - bc
Onde:
det(B) = (2)(1) - (0)(1) = 2 - 0 = 2
B^-1 = 1det(B) d & -b -c & a
B^-1 = 12 1 & 0 -1 & 2 = 0.5 & 0 -0.5 & 1
Então:
Como o determinante é diferente de zero, a matriz B é invertível.
Para encontrar a inversa de uma matriz 2x2, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 4
Matriz C:
C = 1 & 4 & 3 -1 & -2 & 0 2 & 2 & 3
Para matrizes 3x3, calculamos o determinante usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus:
det(C) = 1 times (-2) times 3 + 4 times 0 times 2 + 3 times (-1) times 2 - 3 times (-2) times 2 - 4 times (-1) times 3 - 1 times 0 times 2
Calculando cada termo:
= (1 times -2 times 3) + (4 times 0 times 2) + (3 times -1 times 2) - (3 times -2 times 2) - (4 times -1 times 3) - (1 times 0 times 2)
= (-6) + 0 + (-6) - (-12) - (-12) - 0
= -6 + 0 -6 +12 +12 +0 = 12
Como o determinante é diferente de zero, a matriz C é invertível.
Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, precisamos calcular a matriz dos cofatores, transpor essa matriz (matriz adjunta) e multiplicar pelo inverso do determinante. Devido à complexidade, apresentamos apenas a inversa final: