Encontre todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos:
& 3 x1-5 x2+4 x3=0 & 5 x1+4 x3=0 & 2 x1+5 x2-2 x3=0

Passo 1

Vamos resolver um sistema linear homogêneo, ou seja, todas as equações igualadas a zero. O sistema dado é:
& 3x1 - 5x2 + 4x3 = 0 & 5x1 + 4x3 = 0 & 2x1 + 5x2 - 2x3 = 0
Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear, mais especificamente, eliminação de Gauss para simplificar o sistema e encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
3 & -5 & 4 & | & 0 5 & 0 & 4 & | & 0 2 & 5 & -2 & | & 0

Passo 3

Vamos usar a eliminação de Gauss para transformar essa matriz em forma escalonada. Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (3 na primeira linha).
Para isso, vamos multiplicar a primeira linha por 53 e subtrair da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - (53) times Linha1
Calculando:
5 - (53 times 3) = 0 0 - (53 times -5) = 0 + 253 = 253 4 - (53 times 4) = 4 - 203 = -83 0 - (53 times 0) = 0
Então, a segunda linha fica:
0 253 -83 | 0

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para a terceira linha. Multiplicamos a primeira linha por 23 e subtraímos da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - (23) times Linha1
Calculando:
2 - (23 times 3) = 0 5 - (23 times -5) = 5 + 103 = 253 -2 - (23 times 4) = -2 - 83 = -143 0 - (23 times 0) = 0
Então, a terceira linha fica:
0 253 -143 | 0

Passo 5

Agora, nossa matriz está assim:
3 & -5 & 4 & | & 0 0 & 253 & -83 & | & 0 0 & 253 & -143 & | & 0
Vamos agora zerar o elemento abaixo do segundo pivô, que é 253 na segunda linha. Subtraímos a segunda linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - Linha2
Calculando:
0 - 0 = 0 253 - 253 = 0 -143 - (-83) = -143 + 83 = -63 = -2 0 - 0 = 0
Então, a terceira linha fica:
0 0 -2 | 0

Passo 6

Agora, a matriz está em forma escalonada:
3 & -5 & 4 & | & 0 0 & 253 & -83 & | & 0 0 & 0 & -2 & | & 0
Vamos simplificar cada equação:
  1. Primeira equação:
    3x1 - 5x2 + 4x3 = 0 Rightarrow x1 = 5x2 - 4x33
  2. Segunda equação:
    253x2 - 83x3 = 0 Rightarrow x2 = 825x3
  3. Terceira equação:
    -2x3 = 0 Rightarrow x3 = 0

Passo 7

Agora, sabemos que x3 = 0. Substituindo na segunda equação:
x2 = 825 times 0 = 0
E substituindo x2 e x3 na primeira equação:
x1 = 5 times 0 - 4 times 03 = 0

Resposta

A única solução do sistema é:
x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0

Exercícios relacionados

Considere os sistemas lineares abaixo:
(i) l2 x+y+z=1 x+3 y+z=2 x+y+4 z=3
(ii) lx-2 y+z=12 2 x-4 y+2 z=1 x+y=0
(iii) l2 x-y+z=3 3 x-2 y-z=-1 2 x-y+3 z=7
Quais destes sistemas tem solução única?
Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto S é um subespaço do espaço vetorial V.
(h) V=M3 e S=A in M3: A^T=-A (S é o conjunto das matrizes anti-simétricas)
Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto S é um subespaço do espaço vetorial V.
© V=R^3 e S=(x, y, z) in R^3 mid x=0 e y=|z|
Mostre que se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem tais que A^k=0 para algum inteiro k >= 1 e A B=B A, então (A B)^k=0.