Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
.
©
e
e
©
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
e um subconjunto
. Queremos verificar se
é um subespaço de
.
Para isso, vamos precisar lembrar o que define um subespaço:
- O vetor zero deve estar em
. -
deve ser fechado sob adição de vetores. -
deve ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificando o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele está em
:
-
(ok) -
→ (ok)
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Verificando a adição de vetores:
Para
ser fechado sob adição, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, sua soma também deve estar em
.
Vamos considerar dois vetores
e
em
. Então:
A soma
.
Para que
esteja em
, precisamos que:
Vamos ver um exemplo:
Se
e
, então:
Aqui,
, então a soma não está em
.
Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 4
Verificando a multiplicação por escalar:
Mesmo já tendo descoberto que
não é fechado sob adição, vamos verificar a multiplicação por escalar para completar a análise.
Pegamos um vetor
em
, onde
, e multiplicamos por um escalar
.
Então,
.
Para que
esteja em
, precisamos que:
Sabemos que
, então:
Isso é verdade se
for positivo ou zero. Mas se
for negativo:
-
porque o lado esquerdo seria negativo e o direito positivo.
Então,
não é fechado sob multiplicação por escalar quando
é negativo.
Resposta
O subconjunto
não é um subespaço do espaço vetorial
.
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