Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto S é um subespaço do espaço vetorial V.
© V=R^3 e S=(x, y, z) in R^3 mid x=0 e y=|z|

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial e um subconjunto . Queremos verificar se é um subespaço de .
Para isso, vamos precisar lembrar o que define um subespaço:
  1. O vetor zero deve estar em .
  2. deve ser fechado sob adição de vetores.
  3. deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificando o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele está em :
  • (ok)
  • (ok)
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Verificando a adição de vetores:
Para ser fechado sob adição, se pegarmos dois vetores quaisquer em , sua soma também deve estar em .
Vamos considerar dois vetores e em . Então:
A soma .
Para que esteja em , precisamos que:
Vamos ver um exemplo:
Se e , então:
Aqui, , então a soma não está em .
Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 4

Verificando a multiplicação por escalar:
Mesmo já tendo descoberto que não é fechado sob adição, vamos verificar a multiplicação por escalar para completar a análise.
Pegamos um vetor em , onde , e multiplicamos por um escalar .
Então, .
Para que esteja em , precisamos que:
Sabemos que , então:
Isso é verdade se for positivo ou zero. Mas se for negativo:
  • porque o lado esquerdo seria negativo e o direito positivo.
Então, não é fechado sob multiplicação por escalar quando é negativo.

Resposta

O subconjunto não é um subespaço do espaço vetorial .

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