Considere os sistemas lineares abaixo:
(i)
(ii) lx-2 y+z=12 2 x-4 y+2 z=1 x+y=0
(iii) l2 x-y+z=3 3 x-2 y-z=-1 2 x-y+3 z=7
Encontre as soluções daqueles que não tem solução única.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem três sistemas lineares e precisa descobrir quais deles não têm uma solução única. Isso envolve entender sistemas de equações lineares e usar algumas ferramentas básicas de álgebra linear, como o método da determinante e a eliminação de Gauss. Vamos precisar verificar se cada sistema tem uma única solução, nenhuma solução ou infinitas soluções.
Passo 2
Analisando o Sistema (i):
2x + y + z = 1 x + 3y + z = 2 x + y + 4z = 3
Primeiro, vamos verificar se esse sistema tem uma solução única calculando o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma solução única.
Matriz dos coeficientes:
2 & 1 & 1 1 & 3 & 1 1 & 1 & 4
Calculando o determinante:
det = 2(3 times 4 - 1 times 1) - 1(1 times 4 - 1 times 1) + 1(1 times 1 - 3 times 1) = 17 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, o Sistema (i) tem uma solução única.
Passo 3
Analisando o Sistema (ii):
x - 2y + z = dfrac12 2x - 4y + 2z = 1 x + y = 0
Vamos observar que a segunda equação é apenas o dobro da primeira:
2(x - 2y + z) = 2x - 4y + 2z = 1
Isso significa que a segunda equação não é independente das outras. Então, efetivamente, temos apenas duas equações independentes para três variáveis. Geralmente, isso indica que o sistema pode ter infinitas soluções.
Vamos resolver:
Da terceira equação:
x + y = 0 Rightarrow x = -y
Substituindo (-y) - 2y + z = dfrac12 Rightarrow -3y + z = dfrac12 na primeira equação:
z = 3y + dfrac12
Podemos expressar x = -y z = 3y + dfrac12 em termos de :
Então, a solução geral do Sistema (ii) é:
Onde pode ser qualquer número real. Isso confirma que o sistema tem infinitas soluções.
Passo 4
Analisando o Sistema (iii):
2x - y + z = 3 3x - 2y - z = -1 2x - y + 3z = 7
Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes:
2 & -1 & 1 3 & -2 & -1 2 & -1 & 3
Calculando o determinante:
det = 2(-2 times 3 - (-1) times -1) - (-1)(3 times 3 - (-1) times 2) + 1(3 times -1 - (-2) times 2) = -2 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, o Sistema (iii) também tem uma solução única.
Resposta
Apenas o Sistema (ii) não tem uma solução única. As soluções são dadas por:
x = -y z = 3y + dfrac12
Onde pode ser qualquer número real. Ou seja, há infinitas soluções para o Sistema (ii).