Mostre que se e são matrizes quadradas de mesma ordem tais que para algum inteiro e , então .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes quadradas, e , de mesma ordem. Sabemos que para algum inteiro e que e comutam, ou seja, . O nosso objetivo aqui é mostrar que . Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades de matrizes, especialmente como potências de matrizes se comportam quando elas comutam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando duas matrizes e comutam, elas podem ser multiplicadas em qualquer ordem sem mudar o resultado, isto é, . Essa propriedade é super útil porque permite que a gente reorganize as multiplicações sem complicar as coisas.
Passo 3
Agora, vamos analisar . Podemos expandir isso como multiplicado por ele mesmo vezes:
Passo 4
Como e comutam, podemos reorganizar as multiplicações dentro dessa expressão. Isso significa que podemos agrupar todas as juntas e todas as juntas:
Passo 5
Sabemos que . Substituindo isso na expressão que encontramos: