Use matrizes para resolver o sistem linear abaixo. Indique explicitamente as operações elementares utilizadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando matrizes! O que a gente tem aqui são três equações com quatro variáveis: e . Para resolver isso, vamos usar matrizes aumentadas e operações elementares de linha. Basicamente, a gente vai colocar as equações em forma de matriz e fazer umas manobras para encontrar os valores das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. Isso significa que colocamos os coeficientes das variáveis e os resultados das equações em uma única matriz:
Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar a matriz. O primeiro passo é deixar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1, o que já está feito.
Passo 4
Vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso:
Agora, vamos simplificar a Linha 2 dividindo todos os seus elementos por -8 para deixar o coeficiente de 1 & 3 & 1 & 1 & | & 3 0 & 1 & 18 & 0 & | & -14 0 & -8 & -1 & -4 & | & -10 igual a 1:
Passo 6
Em seguida, vamos eliminar o -8 na terceira linha da segunda coluna usando a Linha 2. Para isso, adicionamos 8 vezes a Linha 2 à Linha 3:
Agora, vamos simplificar a terceira linha dividindo todos os seus elementos por -4 para deixar o coeficiente de 1 & 3 & 1 & 1 & | & 3 0 & 1 & 18 & 0 & | & -14 0 & 0 & 0 & 1 & | & 3 igual a 1:
Passo 8
Vamos agora substituir o valor de w = 3 na primeira e na segunda equação para encontrar x + 3y + z + 3 = 3 e x + 3y + z = 0 (Equação 1') .
Da Linha 3, já sabemos que:
y + 18z = -14 (Equação 2')
Substituindo na Linha 1:
Simplificando: çã
Substituindo na Linha 2:
çã
Passo 9
Agora, vamos resolver Equação 2’ para y = -14 - 18z :
y = -14 - 18t
Isso nos mostra que depende de . Como temos menos equações que variáveis, vamos escolher como uma variável livre. Vamos chamar , onde pode ser qualquer número real.
Então:
Passo 10
Agora, substituímos x + 3(-14 - 18t) + t = 0 e x - 34 - 38t + t = 0 em Equação 1’ para encontrar x + 58t = 34 :