Encontre todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos:
x1+x2-x3 & =0 2 x1-4 x2+3 x3 & =0 -x1-7 x2-6 x3 & =0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares homogêneas juntos! O que isso significa é que todas as equações são igualadas a zero, e queremos encontrar os valores de , e que satisfazem todas elas ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar um método chamado eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrar as soluções possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita o processo de eliminação:
1 & 1 & -1 & | & 0 2 & -4 & 3 & | & 0 -1 & -7 & -6 & | & 0

Passo 3

Vamos começar eliminando o das equações 2 e 3 usando a equação 1. Para isso, multiplicamos a equação 1 por 2 e subtraímos da equação 2, e também multiplicamos a equação 1 por -1 e adicionamos à equação 3:
Nova equação 2:
Subtraindo da equação 2 original:

Nova equação 3:
Adicionando à equação 3 original:

Passo 4

Agora, nosso sistema está reduzido para:
x1 + x2 - x3 = 0 -6x2 + 5x3 = 0 -2x1 -8x2 -5x3 = 0
Vamos resolver a segunda equação para :


Passo 5

Agora que temos em termos de , vamos substituir na primeira equação para encontrar :


Passo 6

Por último, vamos verificar a terceira equação com as expressões de e :





Resposta

A única solução para o sistema é , e . Ou seja, a solução trivial é a única solução do sistema.

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