Seja A=[cccos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha]. Se A+A^t=I2, determine o valor de alpha.

Passo 1

Então, temos uma matriz A = cos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha definida por:
O enunciado diz que a soma de com a sua transposta é igual à matriz identidade . Vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes transpostas e propriedades das funções trigonométricas, para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a transposta da matriz A^t = cos alpha & sin alpha -sin alpha & cos alpha , que é . A transposta de uma matriz troca suas linhas por colunas. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos somar A + A^t = cos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha + cos alpha & sin alpha -sin alpha & cos alpha = 2cos alpha & 0 0 & 2cos alpha com :
Observamos que os termos com se cancelam, resultando em uma matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal são .

Passo 4

Segundo o enunciado, essa soma deve ser igual à matriz identidade A + A^t = I2 implies 2cos alpha & 0 0 & 2cos alpha = 1 & 0 0 & 1 :
Isso significa que os elementos correspondentes das duas matrizes devem ser iguais.

Passo 5

Igualando os elementos das diagonais principais:
2cos alpha = 1
Para encontrar cos alpha = 12 , dividimos ambos os lados por 2:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar os valores de cos alpha = 12 implies alpha = pi3 + 2kpi ou alpha = 5pi3 + 2kpi para todo k in Z que satisfazem . Sabemos que:
Portanto, os valores de são e mais múltiplos inteiros de .

Resposta

Os valores de alpha = pi3 + 2kpi ou alpha = 5pi3 + 2kpi para todo k in Z que satisfazem a equação são:

Exercícios relacionados

Considere os sistemas lineares abaixo:
(i) l2 x+y+z=1 x+3 y+z=2 x+y+4 z=3
(ii) lx-2 y+z=12 2 x-4 y+2 z=1 x+y=0
(iii) l2 x-y+z=3 3 x-2 y-z=-1 2 x-y+3 z=7
Encontre as soluções daqueles que não tem solução única.
Encontre todas as soluções dos seguintes sistemas lineares homogêneos:
x1+x2-x3 & =0 2 x1-4 x2+3 x3 & =0 -x1-7 x2-6 x3 & =0
Use matrizes para resolver o sistem linear abaixo. Indique explicitamente as operações elementares utilizadas.
l x+3 y+z+w=3 2 x-2 y+z+2 w=8 3 x+y+2 z-w=-1
Nas seguintes matrizes, determine se a matriz dada é invertível. Caso seja, calcule a inversa.
h. (rrr0 & 1 & 3 3 & 4 & -2 -1 & 5 & 8)