Considere os sistemas lineares
l x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 4 e l x+y+z=0 2 x+2 y+2 z=0
Mostre que o segundo sistema tem uma infinidade de soluções e escreva o que isso significa quanto aos planos representados por essas equações.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos dois sistemas lineares com duas equações cada. A tarefa é mostrar que o segundo sistema tem infinitas soluções e explicar o que isso significa em termos dos planos que essas equações representam. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e representação geométrica de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o segundo sistema de equações:
l x + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 0
Observamos que a segunda equação é simplesmente a primeira multiplicada por 2. Isso significa que ambas as equações representam a mesma relação entre , e .

Passo 3

Quando temos duas equações que são múltiplos uma da outra, significa que elas não trazem informações adicionais uma sobre a outra. Ou seja, na verdade, temos apenas uma equação essencial:
x + y + z = 0
Essa equação representa um plano no espaço tridimensional.

Passo 4

Como ambas as equações do sistema representam o mesmo plano, qualquer ponto que satisfaz a primeira equação automaticamente satisfaz a segunda. Portanto, não há restrição adicional além de pertencer a esse plano. Isso implica que existem infinitas soluções, pois há infinitos pontos no plano .

Passo 5

Em termos geométricos, cada equação representa um plano no espaço. Quando dois planos são coincidentes (ou seja, são o mesmo plano), a interseção deles é o próprio plano. Assim, o sistema tem infinitas soluções porque todos os pontos desse plano são soluções válidas para as duas equações simultaneamente.

Resposta

O segundo sistema possui infinitas soluções porque ambas as equações representam o mesmo plano . Geometricamente, isso significa que os planos são coincidentes, e qualquer ponto nesse plano é solução do sistema.

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