Determine se o conjunto é linearmente dependente ou linearmente independente. .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar se o conjunto em é linearmente dependente ou independente. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre dependência linear e determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação linear onde pelo menos um coeficiente é diferente de zero que ainda assim resulta no vetor zero, os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Para verificar isso de forma prática, podemos montar uma matriz com os vetores de como colunas e calcular o determinante dessa matriz. A ideia é que, se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se for igual a zero, são dependentes.
Passo 4
Vamos montar a matriz com os vetores de como colunas:
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante de . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de expansão. Vamos usar a regra de expansão pelo primeiro elemento da primeira linha:
Passo 6
Vamos resolver cada parte:
Passo 7
Somando os valores:
Resposta
Como o determinante de é diferente de zero (), concluímos que o conjunto é linearmente independente.