Determine se o conjunto é linearmente dependente ou linearmente independente. .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar se o conjunto em é linearmente dependente ou independente. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre dependência linear e determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação linear onde pelo menos um coeficiente é diferente de zero que ainda assim resulta no vetor zero, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Para verificar isso de forma prática, podemos montar uma matriz com os vetores de como colunas e calcular o determinante dessa matriz. A ideia é que, se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se for igual a zero, são dependentes.

Passo 4

Vamos montar a matriz com os vetores de como colunas:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante de . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de expansão. Vamos usar a regra de expansão pelo primeiro elemento da primeira linha:

Passo 6

Vamos resolver cada parte:

Passo 7

Somando os valores:

Resposta

Como o determinante de é diferente de zero ( ), concluímos que o conjunto é linearmente independente.

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Determine se o conjunto é linearmente dependente ou linearmente independente. .
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Resolva cada sistema linear abaixo:
Considere os sistemas lineares
Mostre que o segundo sistema tem uma infinidade de soluções e escreva o que isso significa quanto aos planos representados por essas equações.