Determine se o conjunto S subset R^3 é linearmente dependente ou linearmente independente. S=(1,2,1),(1,-1,7),(4,5,-4).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar se o conjunto em é linearmente dependente ou independente. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre dependência linear e determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação linear onde pelo menos um coeficiente é diferente de zero que ainda assim resulta no vetor zero, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Para verificar isso de forma prática, podemos montar uma matriz com os vetores de como colunas e calcular o determinante dessa matriz. A ideia é que, se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se for igual a zero, são dependentes.

Passo 4

Vamos montar a matriz A = 1 & 1 & 4 2 & -1 & 5 1 & 7 & -4 com os vetores de como colunas:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot ( (-1) cdot (-4) - 5 cdot 7 ) - 1 cdot ( 2 cdot (-4) - 5 cdot 1 ) + 4 cdot ( 2 cdot 7 - (-1) cdot 1 ) . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de expansão. Vamos usar a regra de expansão pelo primeiro elemento da primeira linha:

Passo 6

Vamos resolver cada parte:
det(A) = 1 cdot (4 - 35) - 1 cdot (-8 - 5) + 4 cdot (14 + 1)
det(A) = 1 cdot (-31) - 1 cdot (-13) + 4 cdot 15
det(A) = -31 + 13 + 60

Passo 7

Somando os valores:
det(A) = 42

Resposta

Como o determinante de é diferente de zero ( ), concluímos que o conjunto é linearmente independente.

Exercícios relacionados