Verifique se o sistema homogêneo abaixo possui uma solução não nula:
l x+y-z=0 2 x+4 y-z=0 3 x+2 y+2 z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações homogêneas. O que a questão está pedindo é para verificar se existe uma solução diferente da trivial (onde todas as variáveis são zero). Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o método de eliminação de Gauss, para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
1 & 1 & -1 2 & 4 & -1 3 & 2 & 2
Isso vai nos ajudar a visualizar melhor as equações e facilitar os cálculos.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a eliminação de Gauss para transformar essa matriz em uma forma mais simples (escalonada). Começamos pelo primeiro elemento da primeira linha, que já é 1.
Vamos eliminar o 2 e o 3 abaixo dele. Para isso:
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
    L2 = L2 - 2 times L1
    Ficando:
    1 & 1 & -1 0 & 2 & 1 3 & 2 & 2
  • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
    L3 = L3 - 3 times L1
    Ficando:
    1 & 1 & -1 0 & 2 & 1 0 & -1 & 5

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda linha. O próximo passo é tornar o elemento da segunda linha e segunda coluna igual a 1. Para isso, dividimos a segunda linha por 2:
L2 = 12 times L2
Ficando:
1 & 1 & -1 0 & 1 & 12 0 & -1 & 5

Passo 5

Com a segunda linha simplificada, vamos eliminar o -1 que está na terceira linha, segunda coluna. Para isso, somamos a segunda linha à terceira linha:
L3 = L3 + L2
Ficando:
1 & 1 & -1 0 & 1 & 12 0 & 0 & 112

Passo 6

Agora temos a matriz em forma escalonada. Podemos traduzir isso de volta para as equações:
x + y - z = 0 y + 12z = 0 112z = 0
Da última equação, vemos que implica que .

Passo 7

Substituindo y + 12(0) = 0 Rightarrow y = 0 na segunda equação:
x + 0 - 0 = 0 Rightarrow x = 0
E substituindo e na primeira equação:

Resposta

A única solução do sistema é , e . Portanto, o sistema homogêneo não possui uma solução não nula.

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