Resolva cada sistema linear abaixo:
lx+2 y-3 z=1 2 x+5 y-8 z=4 3 x+8 y-13 z=7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que temos aqui:
l x + 2y - 3z = 1 2x + 5y - 8z = 4 3x + 8y -13z = 7
A matéria que vamos usar é a álgebra linear, especificamente o método de eliminação de variáveis para resolver sistemas de equações. Precisaremos manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez até encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar eliminar a variável 2(x + 2y - 3z) = 2 times 1 implies 2x + 4y - 6z = 2 . Para isso, vamos pegar a primeira equação e multiplicar por 2, de forma a igualar o coeficiente de (2x + 5y - 8z) - (2x + 4y - 6z) = 4 - 2 na segunda equação.
Multiplicando a primeira equação por 2:
(2x - 2x) + (5y - 4y) + (-8z + 6z) = 2 implies y - 2z = 2
Agora, subtraímos essa nova equação da segunda equação original:
y - 2z = 2 (Equação 4)
Simplificando:
Então, temos uma nova equação:
çã

Passo 3

Agora, vamos eliminar 3(x + 2y - 3z) = 3 times 1 implies 3x + 6y - 9z = 3 usando a primeira e a terceira equação. Multiplicamos a primeira equação por 3 para igualar o coeficiente de (3x + 8y -13z) - (3x + 6y - 9z) = 7 - 3 na terceira equação.
Multiplicando a primeira equação por 3:
(3x - 3x) + (8y - 6y) + (-13z + 9z) = 4 implies 2y -4z = 4
Subtraímos essa nova equação da terceira equação original:
y - 2z = 2 (Equação 5)
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
çã

Passo 4

Observamos que a Equação 4 e a Equação 5 são iguais:
y - 2z = 2
Isso significa que temos apenas duas equações independentes:
  1. y = 2 + 2z
Vamos resolver a segunda equação para :

Passo 5

Agora, substituímos x + 2(2 + 2z) - 3z = 1 na primeira equação para encontrar x + 4 + 4z - 3z = 1 :
x + 4 + z = 1
Distribuindo o 2:
x = 1 - 4 - z implies x = -3 - z
Simplificando:
Isolando :

Passo 6

Até agora, temos:
x = -3 - z
y = 2 + 2z
Para encontrar o valor de 2x + 5y -8z = 4 , podemos usar uma das equações originais. Vamos usar a segunda equação:
2(-3 - z) + 5(2 + 2z) -8z = 4
Substituindo -6 - 2z + 10 + 10z -8z = 4 e (-6 +10) + (-2z +10z -8z) = 4 :
4 + 0z = 4
Simplificando:
4 = 4
Combine os termos semelhantes:
Isso significa que a variável pode ser qualquer número real. Portanto, o sistema possui infinitas soluções, onde é um parâmetro livre.

Resposta

As soluções do sistema são:
x = -3 - z
y = 2 + 2z
z = z (qualquer número real) ú
Onde é um número real qualquer.

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