Considere os sistemas lineares
l x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 4 e l x+y+z=0 2 x+2 y+2 z=0
Mostre que o primeiro sistema não possui soluções e escreva o que isso significa quanto aos planos representados por essas equações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício apresenta dois sistemas de equações lineares e pede para a gente mostrar que o primeiro sistema não tem solução. Isso envolve entender sistemas lineares e representação de planos no espaço. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como manipulação de equações e análise de consistência dos sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o primeiro sistema de equações:
x + y + z = 1 2x + 2y + 2z = 4
Perceba que a segunda equação parece ser um múltiplo da primeira. Se a multiplicarmos a primeira equação por 2, teremos:
2(x + y + z) = 2(1) Rightarrow 2x + 2y + 2z = 2
Mas no sistema original, a segunda equação é igual a 4, ou seja:
2x + 2y + 2z = 4
Aqui, observamos que não pode ser igual a 2 e 4 ao mesmo tempo. Isso cria uma inconsistência, o que significa que não existe nenhum conjunto de valores para , e que satisfaça ambas as equações simultaneamente.

Resposta

O primeiro sistema não possui soluções porque as equações são inconsistentes, ou seja, representam planos paralelos que nunca se encontram no espaço.

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