Verique se os seguintes subconjuntos são subespaços de R^3 :
a) W=(x, y, z) in R^3 mid z=3

Passo 1

Vamos verificar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente as condições necessárias para um subconjunto ser um subespaço vetorial. Precisamos analisar se satisfaz as três condições fundamentais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeira condição: Contém o vetor zero
Para ser um subespaço, deve conter o vetor zero de , que é .
No conjunto , todos os vetores têm a terceira coordenada . O vetor zero tem , então não pertence a .

Passo 3

Segunda condição: Fechado sob adição
Mesmo que já tenhamos observado que não contém o vetor zero, vamos verificar a segunda condição para completar a análise.
Se tomarmos dois vetores quaisquer em , por exemplo, e , a soma deles será .
Observamos que a terceira coordenada da soma é 6, que não satisfaz . Portanto, a soma de dois vetores de não está em .

Passo 4

Terceira condição: Fechado sob multiplicação por escalar
Vamos verificar se, ao multiplicar um vetor de por um escalar , o resultado ainda pertence a .
Tomando um vetor em e multiplicando por , temos .
A terceira coordenada é , que não necessariamente é igual a 3, a menos que . Portanto, nem todo múltiplo escalar de um vetor em estará em .

Resposta

Não, o conjunto não é um subespaço de , pois não contém o vetor zero e não satisfaz as condições de fechamento sob adição e multiplicação por escalar.

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