Verique se os seguintes subconjuntos são subespaços de :
a)

Passo 1

Vamos verificar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente as condições necessárias para um subconjunto ser um subespaço vetorial. Precisamos analisar se satisfaz as três condições fundamentais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeira condição: Contém o vetor zero
Para ser um subespaço, deve conter o vetor zero de , que é .
No conjunto , todos os vetores têm a terceira coordenada . O vetor zero tem , então não pertence a .

Passo 3

Segunda condição: Fechado sob adição
Mesmo que já tenhamos observado que não contém o vetor zero, vamos verificar a segunda condição para completar a análise.
Se tomarmos dois vetores quaisquer em , por exemplo, e , a soma deles será .
Observamos que a terceira coordenada da soma é 6, que não satisfaz . Portanto, a soma de dois vetores de não está em .

Passo 4

Terceira condição: Fechado sob multiplicação por escalar
Vamos verificar se, ao multiplicar um vetor de por um escalar , o resultado ainda pertence a .
Tomando um vetor em e multiplicando por , temos .
A terceira coordenada é , que não necessariamente é igual a 3, a menos que . Portanto, nem todo múltiplo escalar de um vetor em estará em .

Resposta

Não, o conjunto não é um subespaço de , pois não contém o vetor zero e não satisfaz as condições de fechamento sob adição e multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados

Verifique se é um espaço vetorial, para as operações definidas abaixo:
a)
Considere os sistemas lineares
Mostre que o primeiro sistema não possui soluções e escreva o que isso significa quanto aos planos representados por essas equações.
O sistema homogêneo , pode ser escrito na forma matricial como , onde e . Mostre o conjunto solução do sistema homogêneo é um subespaço vetorial de .
Verifique se o conjunto solução do sistema é um subespaço vetorial do .