Verique se os seguintes subconjuntos são subespaços de
:
a)
a)
Passo 1
Vamos verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente as condições necessárias para um subconjunto ser um subespaço vetorial. Precisamos analisar se
satisfaz as três condições fundamentais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeira condição: Contém o vetor zero
Para ser um subespaço,
deve conter o vetor zero de
, que é
.
No conjunto
, todos os vetores têm a terceira coordenada
. O vetor zero tem
, então
não pertence a
.
Passo 3
Segunda condição: Fechado sob adição
Mesmo que já tenhamos observado que
não contém o vetor zero, vamos verificar a segunda condição para completar a análise.
Se tomarmos dois vetores quaisquer em
, por exemplo,
e
, a soma deles será
.
Observamos que a terceira coordenada da soma é 6, que não satisfaz
. Portanto, a soma de dois vetores de
não está em
.
Passo 4
Terceira condição: Fechado sob multiplicação por escalar
Vamos verificar se, ao multiplicar um vetor de
por um escalar
, o resultado ainda pertence a
.
Tomando um vetor
em
e multiplicando por
, temos
.
A terceira coordenada é
, que não necessariamente é igual a 3, a menos que
. Portanto, nem todo múltiplo escalar de um vetor em
estará em
.
Resposta
Não, o conjunto
não é um subespaço de
, pois não contém o vetor zero e não satisfaz as condições de fechamento sob adição e multiplicação por escalar.