Verifique se é um espaço vetorial, para as operações definidas abaixo:
a)
Passo 1
Então, a gente vai verificar se o conjunto é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas da seguinte forma:
Adição:
Multiplicação por escalar:
Para isso, vamos usar os axiomas de espaço vetorial e checar se todos eles são satisfeitos com essas operações. Vamos precisar lembrar as propriedades básicas de espaços vetoriais, como associatividade, existência de elemento neutro, distributividade, etc.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a associatividade da adição. Isso significa que, para quaisquer três vetores , a seguinte igualdade deve ser verdadeira:
Vamos calcular ambos os lados usando a definição da adição dada.
Passo 3
Calculando :
Se , , e , então:
Agora, adicionando :
Passo 4
Agora, calculando :
Primeiro, , então:
Passo 5
Comparando os resultados:
Vemos que a menos que , o que não é garantido para todo vetor.
Passo 6
Como a associatividade da adição não é satisfeita, já podemos concluir que com as operações dadas não é um espaço vetorial. Não é necessário verificar os outros axiomas, pois basta que um seja violado para que o conjunto não seja um espaço vetorial.
Resposta
Não, com as operações definidas não é um espaço vetorial, pois a associatividade da adição não é satisfeita.