Verifique se R^2 é um espaço vetorial, para as operações definidas abaixo:
a) (x, y)+(z, t)=(x-y, z-t)
k cdot(x, y)=(-k x,-k y)

Passo 1

Então, a gente vai verificar se o conjunto é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas da seguinte forma:
  • Adição:
  • Multiplicação por escalar:
Para isso, vamos usar os axiomas de espaço vetorial e checar se todos eles são satisfeitos com essas operações. Vamos precisar lembrar as propriedades básicas de espaços vetoriais, como associatividade, existência de elemento neutro, distributividade, etc.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a associatividade da adição. Isso significa que, para quaisquer três vetores (u + v) + w = u + (v + w) , a seguinte igualdade deve ser verdadeira:
Vamos calcular ambos os lados usando a definição da adição dada.

Passo 3

Calculando u + v = (x1 - y1, x2 - y2) :
Se (u + v) + w = ((x1 - y1) - y1, (x2 - y2) - y2) = (x1 - 2y1, x2 - 2y2) , , e , então:
Agora, adicionando :

Passo 4

Agora, calculando u + (v + w) = (x1 - y1, x2 - y2 - y2) = (x1 - y1, x2 - 2y2) :
Primeiro, , então:

Passo 5

Comparando os resultados:
(u + v) + w = (x1 - 2y1, x2 - 2y2) u + (v + w) = (x1 - y1, x2 - 2y2)
Vemos que a menos que , o que não é garantido para todo vetor.

Passo 6

Como a associatividade da adição não é satisfeita, já podemos concluir que com as operações dadas não é um espaço vetorial. Não é necessário verificar os outros axiomas, pois basta que um seja violado para que o conjunto não seja um espaço vetorial.

Resposta

Não, com as operações definidas não é um espaço vetorial, pois a associatividade da adição não é satisfeita.

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