Determinar os vértices, centro, focos, excentricidade e esboçar o gráfico das seguintes hipérboles: 2 y^2-4 x^2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérboles! A gente precisa encontrar os vértices, o centro, os focos, a excentricidade e desenhar o gráfico da hipérbole dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica relacionados às hipérboles, como identificar a forma padrão da equação e calcular os elementos principais.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A equação dada é:
2y^2 - 4x^2 = 1
Para facilitar, dividimos todos os termos por 1 para deixar o lado direito igual a 1:
y^212 - x^214 = 1
Agora a equação está na forma padrão de uma hipérbole vertical:
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
Aqui, e .

Passo 3

Vamos encontrar o centro da hipérbole. Na forma padrão que usamos, o centro é na origem, ou seja, nas coordenadas .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os vértices. Para uma hipérbole vertical, os vértices estão a uma distância a = raiz12 = raiz22 do centro ao longo do eixo y. Primeiro, encontramos (0, raiz22) e (0, -raiz22) :
Então, os vértices estão nas coordenadas :

Passo 5

Vamos determinar os focos da hipérbole. Para isso, precisamos calcular c^2 = 12 + 14 = 34 implies c = raiz32 , onde (0, raiz32) e (0, -raiz32) .
Os focos ficam a uma distância do centro ao longo do eixo y:

Passo 6

Vamos calcular a excentricidade e = ca = raiz32raiz22 = raiz3raiz2 = raiz32 approx 1,225 , que mede o quão “esticada” a hipérbole está. A excentricidade é dada por:

Passo 7

Por fim, para esboçar o gráfico da hipérbole, temos as seguintes informações:
  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • A hipérbole abre para cima e para baixo, pois a diferença está nos .

Resposta

A hipérbole possui:
  • Centro em
  • Vértices em e
  • Focos em e
  • Excentricidade
    O gráfico é uma hipérbole vertical que abre para cima e para baixo.

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