Determinar os vértices, centro, focos, excentricidade e esboçar o gráfico das seguintes hipérboles:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérboles! A gente precisa encontrar os vértices, o centro, os focos, a excentricidade e desenhar o gráfico da hipérbole dada pela equação
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica relacionados às hipérboles, como identificar a forma padrão da equação e calcular os elementos principais.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A equação dada é:
Para facilitar, dividimos todos os termos por 1 para deixar o lado direito igual a 1:
Agora a equação está na forma padrão de uma hipérbole vertical:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos encontrar o centro da hipérbole. Na forma padrão que usamos, o centro é na origem, ou seja, nas coordenadas
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os vértices. Para uma hipérbole vertical, os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo y. Primeiro, encontramos
:
Então, os vértices estão nas coordenadas
:
Passo 5
Vamos determinar os focos da hipérbole. Para isso, precisamos calcular
, onde
.
Os focos ficam a uma distância
do centro ao longo do eixo y:
Passo 6
Vamos calcular a excentricidade
, que mede o quão “esticada” a hipérbole está. A excentricidade é dada por:
Passo 7
Por fim, para esboçar o gráfico da hipérbole, temos as seguintes informações:
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e - A hipérbole abre para cima e para baixo, pois a diferença está nos
.
Resposta
A hipérbole
possui:
- Centro em
- Vértices em
e - Focos em
e - Excentricidade
O gráfico é uma hipérbole vertical que abre para cima e para baixo.
Exercícios relacionados
Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições: Focos
, vértices
.
Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.
Realize o estudo das seguintes parábolas (Vértice, Foco, Diretriz e Gráfico):
Considere os sistemas seguintes nas incógnitas
e
.
(b)
Para quais valores de o sistema dado tem solução única e para quais pares de valores
o sistema mais do que uma solução?
(b)
Para quais valores de