Considere os sistemas seguintes nas incógnitas e .
(a)
Para quais valores de o sistema dado tem solução única e para quais pares de valores o sistema mais do que uma solução?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse sistema de equações que temos aí. A gente tem três equações com três incógnitas: , e . O que a gente precisa descobrir é para quais valores de o sistema tem uma solução única e para quais pares de valores ele pode ter mais de uma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações para facilitar:
Passo 3
Para resolver esse sistema, vamos usar o método de substituição ou eliminação. Vou optar pela eliminação para simplificar as coisas. Vamos começar eliminando das equações (1) e (2).
Passo 4
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Simplificando:
Passo 5
Agora temos duas equações:
Vamos resolver esse sistema de duas equações para e .
Passo 6
Da equação (4), podemos isolar :
Passo 7
Agora, substituímos da equação (5) na equação (3):
Distribuindo :
Passo 8
Agora, vamos agrupar os termos com :
Ou seja:
Passo 9
Para encontrar , dividimos ambos os lados por :
Passo 10
Agora que temos , podemos encontrar usando a equação (5):
Simplificando:
Passo 11
Com e encontrados, podemos voltar à equação (1) para encontrar :
Substituindo :
Simplificando:
Passo 12
Agora, vamos analisar quando o sistema tem solução única e quando tem mais de uma solução. Isso depende do denominador :
Se , ou seja, , o denominador não é zero, e podemos encontrar valores únicos para , e . Portanto, para e , o sistema tem solução única.
Se , ou seja, , então ou . Nesse caso, o denominador é zero, e a equação para só terá solução se o numerador também for zero, ou seja, . Assim, para ou , e , o sistema terá infinitas soluções.
Resposta
O sistema tem solução única para todos os valores de exceto e . Para ou , o sistema possui mais de uma solução apenas quando .