Considere os sistemas seguintes nas incógnitas e .
(a)


Para quais valores de o sistema dado tem solução única e para quais pares de valores o sistema mais do que uma solução?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse sistema de equações que temos aí. A gente tem três equações com três incógnitas: , e . O que a gente precisa descobrir é para quais valores de o sistema tem uma solução única e para quais pares de valores ele pode ter mais de uma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações para facilitar:

Passo 3

Para resolver esse sistema, vamos usar o método de substituição ou eliminação. Vou optar pela eliminação para simplificar as coisas. Vamos começar eliminando das equações (1) e (2).

Passo 4

Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Simplificando:

Passo 5

Agora temos duas equações:
Vamos resolver esse sistema de duas equações para e .

Passo 6

Da equação (4), podemos isolar :

Passo 7

Agora, substituímos da equação (5) na equação (3):
Distribuindo :

Passo 8

Agora, vamos agrupar os termos com :
Ou seja:

Passo 9

Para encontrar , dividimos ambos os lados por :

Passo 10

Agora que temos , podemos encontrar usando a equação (5):
Simplificando:

Passo 11

Com e encontrados, podemos voltar à equação (1) para encontrar :
Substituindo :
Simplificando:

Passo 12

Agora, vamos analisar quando o sistema tem solução única e quando tem mais de uma solução. Isso depende do denominador :
  • Se , ou seja, , o denominador não é zero, e podemos encontrar valores únicos para , e . Portanto, para e , o sistema tem solução única.
  • Se , ou seja, , então ou . Nesse caso, o denominador é zero, e a equação para só terá solução se o numerador também for zero, ou seja, . Assim, para ou , e , o sistema terá infinitas soluções.

Resposta

O sistema tem solução única para todos os valores de exceto e . Para ou , o sistema possui mais de uma solução apenas quando .

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(i)
Determine o gráfico em das funções:
Considere a função : Encontre o domínio da função;
(h)