Determine o gráfico em das funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa determinar o gráfico da função no espaço tridimensional . Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções de duas variáveis e como elas se representam graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Aqui, representa a coordenada no espaço 3D para cada par de valores .

Passo 3

Vamos observar a expressão dentro da raiz quadrada: . Para que a função esteja definida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
Isso significa que:
Então, o domínio da função é todo o conjunto de que satisfazem essa condição.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a função de forma mais simples:
Isso indica que para cada ponto no domínio, será sempre negativo ou zero, já que estamos tirando a raiz quadrada e multiplicando por -1.

Passo 5

Para entender o gráfico, podemos tentar expressar em função de e . A partir de:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando para :
Essa equação representa uma superfície no espaço tridimensional.

Passo 6

A equação é a equação de um paraboloide hiperbólico que está aberto em direção negativa do eixo . Isso porque os termos e têm sinais negativos, indicando que a superfície se curva para baixo em relação ao eixo .

Passo 7

Então, o gráfico da função é um paraboloide hiperbólico aberto na direção negativa de , situado abaixo do plano , formando uma espécie de “sela” no espaço 3D.

Resposta

O gráfico da função em é um paraboloide hiperbólico aberto na direção negativa de , representando uma superfície côncava abaixo do plano definido por .

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