Determine o gráfico em
das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa determinar o gráfico da função
no espaço tridimensional
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções de duas variáveis e como elas se representam graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Aqui,
representa a coordenada
no espaço 3D para cada par de valores
.
Passo 3
Vamos observar a expressão dentro da raiz quadrada:
. Para que a função esteja definida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
Isso significa que:
Então, o domínio da função é todo o conjunto de
que satisfazem essa condição.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a função de forma mais simples:
Isso indica que para cada ponto
no domínio,
será sempre negativo ou zero, já que estamos tirando a raiz quadrada e multiplicando por -1.
Passo 5
Para entender o gráfico, podemos tentar expressar
em função de
e
. A partir de:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando para
:
Essa equação representa uma superfície no espaço tridimensional.
Passo 6
A equação
é a equação de um paraboloide hiperbólico que está aberto em direção negativa do eixo
. Isso porque os termos
e
têm sinais negativos, indicando que a superfície se curva para baixo em relação ao eixo
.
Passo 7
Então, o gráfico da função
é um paraboloide hiperbólico aberto na direção negativa de
, situado abaixo do plano
, formando uma espécie de “sela” no espaço 3D.
Resposta
O gráfico da função
em
é um paraboloide hiperbólico aberto na direção negativa de
, representando uma superfície côncava abaixo do plano definido por
.