(i) sumn=3^+infty 2^-n+5^-n

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a soma sumn=3^+infty 2^-n + 5^-n. Isso está dentro da matéria de Séries Geométricas. Para resolver, vamos precisar entender como somar séries infinitas usando a fórmula da série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a soma em duas partes: sumn=3^+infty 2^-n e sumn=3^+infty 5^-n. Isso facilita calcular cada parte individualmente.

Passo 3

Vamos lembrar da fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
sumn=k^+infty ar^n = ar^k1 - r
onde é o primeiro termo e é a razão da série, com .

Passo 4

Para a primeira soma, sumn=3^+infty 2^-n:
  • Aqui, sumn=3^+infty 2^-n = 2^-31 - 12 = 1812 = 14 (porque o termo geral é ) e .
  • Aplicando a fórmula:

Passo 5

Para a segunda soma, sumn=3^+infty 5^-n:
  • Aqui, sumn=3^+infty 5^-n = 5^-31 - 15 = 112545 = 1100 e .
  • Aplicando a fórmula:

Passo 6

Agora, somamos os dois resultados obtidos:
14 + 1100 = 25100 + 1100 = 26100 = 1350

Resposta

A soma é 1350.

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