Quais das transformações abaixo são lineares?
(l)
(l)
Passo 1
Vamos lá! A questão pergunta quais das transformações listadas são lineares. Temos a transformação
definida por
. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de transformações lineares em álgebra linear e verificar se essa transformação satisfaz as propriedades de linearidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
e para qualquer escalar
, as seguintes duas condições forem verdadeiras:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas condições para a transformação
.
Passo 3
Verificando a adição de vetores:
Sejam
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a primeira condição é satisfeita.
Passo 4
Verificando a multiplicação por escalar:
Tomemos um escalar
e o vetor
.
Calculando
:
Como
, a segunda condição também é satisfeita.
Resposta
A transformação
definida por
é linear.