Quais das transformações abaixo são lineares?
(l) T: R^2 longrightarrow R^2, T(x, y)=(x+y, x-y)

Passo 1

Vamos lá! A questão pergunta quais das transformações listadas são lineares. Temos a transformação definida por . Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de transformações lineares em álgebra linear e verificar se essa transformação satisfaz as propriedades de linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e e para qualquer escalar , as seguintes duas condições forem verdadeiras:
  1. Adição de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas condições para a transformação .

Passo 3

Verificando a adição de vetores:
Sejam T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + (y1 + y2), (x1 + x2) - (y1 + y2)) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 - y1 + x2 - y2) e T(u) + T(v) = (x1 + y1, x1 - y1) + (x2 + y2, x2 - y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 - y1 + x2 - y2) .
Calculando :
Calculando :
Como , a primeira condição é satisfeita.

Passo 4

Verificando a multiplicação por escalar:
Tomemos um escalar T(cu) = T(cx, cy) = (cx + cy, cx - cy) = c(x + y, x - y) = cT(u) e o vetor .
Calculando :
Como , a segunda condição também é satisfeita.

Resposta

A transformação definida por é linear.

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