Seja V um espaço vetorial sobre R, com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em V :
(f) V=P2(R), lang<= p, qrang<==integral-1^1 p(x) q^prime(x) d x.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma certa função funciona como produto interno em um espaço vetorial específico. Aqui, o espaço lang<= p, q rang<= = integral-1^1 p(x) q^prime(x) , dx é , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. A função que estamos analisando é:
Vamos precisar lembrar das propriedades que definem um produto interno para verificar se essa função as satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades de um produto interno:
  1. Positividade: Para todo vetor lang<= au + v, w rang<= = a lang<= u, w rang<= + lang<= v, w rang<= , , e se e somente se .
  2. Linearidade: O produto interno é linear no primeiro argumento. Ou seja, para quaisquer vetores e escalar , temos:
  3. Simetria: .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.

Passo 3

1. Positividade:
Vamos calcular lang<= p, p rang<= = integral-1^1 p(x) p^prime(x) , dx :
integral u , dv = uv - integral v , du
Para verificar se isso é sempre maior ou igual a zero, podemos integrar por partes. Lembrando que:
integral-1^1 p(x) p^prime(x) , dx = p(x) p(x) |-1^1 - integral-1^1 p^prime(x) p(x) , dx
Vamos escolher lang<= p, p rang<= = p(1)^2 - p(-1)^2 - lang<= p, p rang<= e 2 lang<= p, p rang<= = p(1)^2 - p(-1)^2 . Então, lang<= p, p rang<= = p(1)^2 - p(-1)^22 e . Aplicando a integração por partes:
Simplificando:
Isso leva a:
Para que para todo , precisaríamos que . Porém, isso nem sempre acontece. Por exemplo, se for tal que e , então , o que viola a positividade.

Passo 4

2. Linearidade:
Mesmo que a positividade já não seja satisfeita, vamos verificar a linearidade para completar a análise.
Queremos ver se:
lang<= a p + b q, r rang<= = a lang<= p, r rang<= + b lang<= q, r rang<=
Calculando o lado esquerdo:
lang<= a p + b q, r rang<= = integral-1^1 (a p(x) + b q(x)) r^prime(x) , dx = a integral-1^1 p(x) r^prime(x) , dx + b integral-1^1 q(x) r^prime(x) , dx = a lang<= p, r rang<= + b lang<= q, r rang<=
Então, a linearidade no primeiro argumento está ok.

Passo 5

3. Simetria:
Vamos ver se lang<= p, q rang<= = integral-1^1 p(x) q^prime(x) , dx .
Calculando lang<= q, p rang<= = integral-1^1 q(x) p^prime(x) , dx :
E :
Em geral, não é igual a , a menos que haja uma condição específica sobre e . Portanto, a simetria também não é garantida.

Resposta

Não, a função não é um produto interno em , pois não satisfaz a propriedade de positividade.

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