Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em :
(f) .
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma certa função funciona como produto interno em um espaço vetorial específico. Aqui, o espaço é , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. A função que estamos analisando é:
Vamos precisar lembrar das propriedades que definem um produto interno para verificar se essa função as satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades de um produto interno:
Positividade: Para todo vetor , , e se e somente se .
Linearidade: O produto interno é linear no primeiro argumento. Ou seja, para quaisquer vetores e escalar , temos:
Simetria: .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.
Passo 3
1. Positividade:
Vamos calcular :
Para verificar se isso é sempre maior ou igual a zero, podemos integrar por partes. Lembrando que:
Vamos escolher e . Então, e . Aplicando a integração por partes:
Simplificando:
Isso leva a:
Para que para todo , precisaríamos que . Porém, isso nem sempre acontece. Por exemplo, se for tal que e , então , o que viola a positividade.
Passo 4
2. Linearidade:
Mesmo que a positividade já não seja satisfeita, vamos verificar a linearidade para completar a análise.
Queremos ver se:
lang<= a p + b q, r rang<= = a lang<= p, r rang<= + b lang<= q, r rang<=
Calculando o lado esquerdo:
lang<= a p + b q, r rang<= = integral-1^1 (a p(x) + b q(x)) r^prime(x) , dx = a integral-1^1 p(x) r^prime(x) , dx + b integral-1^1 q(x) r^prime(x) , dx = a lang<= p, r rang<= + b lang<= q, r rang<=
Então, a linearidade no primeiro argumento está ok.
Passo 5
3. Simetria:
Vamos ver se lang<= p, q rang<= = integral-1^1 p(x) q^prime(x) , dx .
Calculando lang<= q, p rang<= = integral-1^1 q(x) p^prime(x) , dx :
E :
Em geral, não é igual a , a menos que haja uma condição específica sobre e . Portanto, a simetria também não é garantida.
Resposta
Não, a função não é um produto interno em , pois não satisfaz a propriedade de positividade.