(Potências de matrizes) Dadas as matrizes quadradas
abaixo indicadas, calcluar
, etc. Induzir o valor de
para todo número natural
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre potências de matrizes! Primeiro, o que a gente tem aqui é a matriz quadrada
. O objetivo é calcular
,
, e por aí vai, até induzir uma fórmula para
, onde
é qualquer número natural.
Passo 2
Para começar, vamos lembrar como multiplicar matrizes. Se a gente tem duas matrizes
e
, o produto
é dado por:
Vamos usar essa regra para calcular
.
Passo 3
Calculando
:
Multiplicando:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Multiplicando:
Passo 5
Parece que está aparecendo um padrão! Vamos verificar mais uma potência para ter certeza. Calculando
:
Multiplicando:
Passo 6
Agora vamos generalizar isso para qualquer
. Observando as matrizes calculadas:
Percebemos que os elementos da diagonal principal são potências de 2:
. E o elemento acima da diagonal parece seguir a sequência
.
Passo 7
Portanto, podemos concluir que para qualquer número natural
, a matriz
é:
Resposta
Para todo número natural
, a potência
é: