(Potências de matrizes) Dadas as matrizes quadradas abaixo indicadas, calcluar , etc. Induzir o valor de para todo número natural .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre potências de matrizes! Primeiro, o que a gente tem aqui é a matriz quadrada . O objetivo é calcular , , e por aí vai, até induzir uma fórmula para , onde é qualquer número natural.
Passo 2
Para começar, vamos lembrar como multiplicar matrizes. Se a gente tem duas matrizes e , o produto é dado por:
Vamos usar essa regra para calcular .
Passo 3
Calculando :
Multiplicando:
Passo 4
Agora, vamos calcular :
Multiplicando:
Passo 5
Parece que está aparecendo um padrão! Vamos verificar mais uma potência para ter certeza. Calculando :
Multiplicando:
Passo 6
Agora vamos generalizar isso para qualquer . Observando as matrizes calculadas:
Percebemos que os elementos da diagonal principal são potências de 2: . E o elemento acima da diagonal parece seguir a sequência .
Passo 7
Portanto, podemos concluir que para qualquer número natural , a matriz é: