(Potências de matrizes) Dadas as matrizes quadradas M abaixo indicadas, calcluar M^2, M^3, etc. Induzir o valor de M^n para todo número natural n in N.
15.2 M=[ll 1 & 1 0 & 2 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre potências de matrizes! Primeiro, o que a gente tem aqui é a matriz quadrada 1 & 1 0 & 2 . O objetivo é calcular , , e por aí vai, até induzir uma fórmula para , onde é qualquer número natural.

Passo 2

Para começar, vamos lembrar como multiplicar matrizes. Se a gente tem duas matrizes a & b c & d e e & f g & h , o produto AB = a cdot e + b cdot g & a cdot f + b cdot h c cdot e + d cdot g & c cdot f + d cdot h é dado por:
Vamos usar essa regra para calcular .

Passo 3

Calculando M = 1 & 1 0 & 2 :
M^2 = 1 cdot 1 + 1 cdot 0 & 1 cdot 1 + 1 cdot 2 0 cdot 1 + 2 cdot 0 & 0 cdot 1 + 2 cdot 2 = 1 & 3 0 & 4
Multiplicando:

Passo 4

Agora, vamos calcular M^2 = 1 & 3 0 & 4 , M = 1 & 1 0 & 2 :
M^3 = 1 cdot 1 + 3 cdot 0 & 1 cdot 1 + 3 cdot 2 0 cdot 1 + 4 cdot 0 & 0 cdot 1 + 4 cdot 2 = 1 & 7 0 & 8
Multiplicando:

Passo 5

Parece que está aparecendo um padrão! Vamos verificar mais uma potência para ter certeza. Calculando M^3 = 1 & 7 0 & 8 , M = 1 & 1 0 & 2 :
M^4 = 1 cdot 1 + 7 cdot 0 & 1 cdot 1 + 7 cdot 2 0 cdot 1 + 8 cdot 0 & 0 cdot 1 + 8 cdot 2 = 1 & 15 0 & 16
Multiplicando:

Passo 6

Agora vamos generalizar isso para qualquer M^1 = 1 & 1 0 & 2 , M^2 = 1 & 3 0 & 4 , M^3 = 1 & 7 0 & 8 , M^4 = 1 & 15 0 & 16 . Observando as matrizes calculadas:
Percebemos que os elementos da diagonal principal são potências de 2: . E o elemento acima da diagonal parece seguir a sequência .

Passo 7

Portanto, podemos concluir que para qualquer número natural M^n = 1 & 2^n - 1 0 & 2^n , a matriz é:

Resposta

Para todo número natural M^n = 1 & 2^n - 1 0 & 2^n , a potência é:

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