Considere o sitema linear . Para que valores de a e b o sistema
(b) tem única solução?
Passo 1
Então, galera, temos um sistema de equações lineares aqui:
x + y + 3z = 2 x + 2y + 4z = 3 x + 3y + a z = b
O objetivo é descobrir para quais valores de e esse sistema tem uma solução única. Vamos usar um pouco de álgebra linear para resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as primeiras duas equações e tentar eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
(x + 2y + 4z) - (x + y + 3z) = 3 - 2
y + z = 1
Agora temos uma nova equação: .
Passo 3
Vamos fazer algo semelhante com a terceira equação. Subtraindo a segunda equação da terceira, obtemos:
(x + 3y + a z) - (x + 2y + 4z) = b - 3
y + (a - 4)z = b - 3
Agora temos outra equação: .
Passo 4
Agora, temos um sistema com duas equações:
y + z = 1 y + (a - 4)z = b - 3
Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar (y + (a - 4)z) - (y + z) = (b - 3) - 1 :
(a - 5)z = b - 4
Passo 5
Para encontrar z = b - 4a - 5 , isolamos a variável:
Aqui, vemos que se , podemos calcular um valor específico para . Se , o denominador fica zero, o que nos leva a uma situação especial.
Passo 6
Agora, usando o valor de y = 1 - z = 1 - b - 4a - 5 = (a - 5) - (b - 4)a - 5 = a - b - 1a - 5 encontrado, vamos encontrar x = 2 - y - 3z = 2 - a - b - 1a - 5 - 3 times b - 4a - 5 = 2(a - 5) - (a - b - 1) - 3(b - 4)a - 5 a partir da primeira equação:
E finalmente, substituímos e em uma das equações originais para encontrar :
Resposta
O sistema tem uma única solução para todos os valores de diferentes de 5. Ou seja, para , independente do valor de , o sistema possui uma solução única.