Um termômetro é levado de uma sala onde a temperatura é de 20 graus Celsius para fora, onde a temperatura é de 5 graus C. Após 1/2 minuto o termômetro marca 15 graus C.
(a) Determine a temperatura marcada no termômetro como função do tempo. R: T(t) = 5 + 15 * (2/3)^(2t)
(b) Qual será a leitura do termômetro após 1 minuto? R: T(1) = 105/9 ≈ 11,7 C
© Em quanto tempo o termômetro irá marcar 10 graus C ? R : t = ln(1 / 3) / (2 ln(2 / 3)) ≈ 1 min e20seg

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um termômetro que foi levado de uma sala com temperatura de 20 graus Celsius para fora, onde a temperatura é de 5 graus C. Após meio minuto, o termômetro marca 15 graus C. Vamos usar conceitos de Resfriamento de Newton para resolver as partes (a), (b) e © do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Resfriamento de Newton. Ela nos diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A fórmula geral é:
onde:
  • T(t) é a temperatura do objeto no tempo t,
  • é a temperatura ambiente,
  • k é a constante de resfriamento.

Passo 3

Para resolver a parte (a), vamos encontrar a função T(t) que descreve a temperatura do termômetro ao longo do tempo. Sabemos que:
  • Temperatura ambiente, ,
  • Temperatura inicial, ,
  • Após minuto, .

Passo 4

A solução da equação diferencial da Lei de Resfriamento de Newton é:
Substituindo os valores que temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver para k:

Passo 6

Substituindo k de volta na fórmula de T(t):
Usando propriedades dos logaritmos:

Passo 7

Portanto, a função que descreve a temperatura do termômetro em função do tempo é:

Passo 8

Para a parte (b), queremos saber qual será a leitura do termômetro após 1 minuto. Basta substituir na função que encontramos:

Passo 9

Finalmente, na parte ©, queremos descobrir em quanto tempo o termômetro irá marcar 10 graus C. Usamos a função T(t) e resolvemos para t:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:

Resposta

(a) T(t) = 5 + 15 * (2/3)^(2t)
(b)
©

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