Um termômetro é levado de uma sala onde a temperatura é de
para fora, onde a temperatura é de
. Após
minuto o termômetro marca
.
(a) Determine a temperatura marcada no termômetro como função do tempo. R:
(b) Qual será a leitura do termômetro após 1 minuto?
© Em quanto tempo o termômetro irá marcar
? R :
e20seg
(a) Determine a temperatura marcada no termômetro como função do tempo. R:
(b) Qual será a leitura do termômetro após 1 minuto?
© Em quanto tempo o termômetro irá marcar
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um termômetro que foi levado de uma sala com temperatura de
para fora, onde a temperatura é de
. Após meio minuto, o termômetro marca
. Vamos usar conceitos de Resfriamento de Newton para resolver as partes (a), (b) e © do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei de Resfriamento de Newton. Ela nos diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A fórmula geral é:
onde:
-
é a temperatura do objeto no tempo , -
é a temperatura ambiente, -
é a constante de resfriamento.
Passo 3
Para resolver a parte (a), vamos encontrar a função
que descreve a temperatura do termômetro ao longo do tempo. Sabemos que:
- Temperatura ambiente,
, - Temperatura inicial,
, - Após
minuto, .
Passo 4
A solução da equação diferencial da Lei de Resfriamento de Newton é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Passo 6
Substituindo
de volta na fórmula de
:
Usando propriedades dos logaritmos:
Passo 7
Portanto, a função que descreve a temperatura do termômetro em função do tempo é:
Passo 8
Para a parte (b), queremos saber qual será a leitura do termômetro após 1 minuto. Basta substituir
na função que encontramos:
Passo 9
Finalmente, na parte ©, queremos descobrir em quanto tempo o termômetro irá marcar
. Usamos a função
e resolvemos para
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Resposta
(a)
(b)
©