Um termômetro é levado de uma sala onde a temperatura é de para fora, onde a temperatura é de . Após minuto o termômetro marca .
(a) Determine a temperatura marcada no termômetro como função do tempo. R:
(b) Qual será a leitura do termômetro após 1 minuto?
© Em quanto tempo o termômetro irá marcar ? R : e20seg

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um termômetro que foi levado de uma sala com temperatura de para fora, onde a temperatura é de . Após meio minuto, o termômetro marca . Vamos usar conceitos de Resfriamento de Newton para resolver as partes (a), (b) e © do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Resfriamento de Newton. Ela nos diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A fórmula geral é:
onde:
  • é a temperatura do objeto no tempo ,
  • é a temperatura ambiente,
  • é a constante de resfriamento.

Passo 3

Para resolver a parte (a), vamos encontrar a função que descreve a temperatura do termômetro ao longo do tempo. Sabemos que:
  • Temperatura ambiente, ,
  • Temperatura inicial, ,
  • Após minuto, .

Passo 4

A solução da equação diferencial da Lei de Resfriamento de Newton é:
Substituindo os valores que temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver para :

Passo 6

Substituindo de volta na fórmula de :
Usando propriedades dos logaritmos:

Passo 7

Portanto, a função que descreve a temperatura do termômetro em função do tempo é:

Passo 8

Para a parte (b), queremos saber qual será a leitura do termômetro após 1 minuto. Basta substituir na função que encontramos:

Passo 9

Finalmente, na parte ©, queremos descobrir em quanto tempo o termômetro irá marcar . Usamos a função e resolvemos para :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:

Resposta

(a)
(b)
©

Exercícios relacionados

Suponha que um automóvel sofre depreciação numa taxa que é proporcional ao seu valor num instante . Este automóvel novo custa . Após um ano de uso, o seu valor é de . Qual será o valor do carro após dois anos de uso? R:
Considere uma situação formada por uma população de organismos zooplanctônicos. São colocadas em um béquer 3 fêmeas partenogenéticas grávidas (não necessariamente de fecundação pelo macho) de um microcrustáceo chamada cladócero em condições ideais de alimentação, temperatura, aeração, iluminação e ausência de predadores. Sabendo-se que em 10 dias havia 240 indivíduos, determine a população em função do tempo supondo-se que a taxa de crescimento da população é proporcional à população atual.
Suponha que seja aberta uma caderneta poupança com o objetivo de adquirir um bem no valor de . Suponha que os juros sejam creditados continuamente a uma taxa de ao mês e que os depósitos também sejam feitos continuamente a uma taxa constante, sendo no início o saldo igual a zero. Determine de quanto deve ser a taxa de depósito mensal para que em 20 meses se consiga atingir o valor pretendido.
Suponha que em uma comunidade de 100 pessoas inicialmente apenas uma pessoa seja portador de um vírus e que a taxa com que o vírus se espalha na comunidade seja proporcional tanto ao número de pessoas infectadas como também ao número de pessoas não infectadas. Se for observado que, após 4 semanas, 5 pessoas estão infectadas, determine o número de pessoas infectadas em função do tempo.