Considere sobre as operações . definidas por Mostre que .é

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que é um **anel comutativo com unidade**. Basicamente, isso significa que precisamos verificar se, com as operações definidas por: a estrutura satisfaz todas as propriedades de um anel comutativo e possui um elemento que age como unidade para a multiplicação. Para isso, vamos checar passo a passo as propriedades necessárias.

Passo 2

**Verificando a comutatividade da operação :** A operação é definida por . Para ser comutativa, precisa ser que . Calculando: Então, é comutativa.

Passo 3

**Existência do elemento neutro para :** Precisamos encontrar um número tal que para todo . Usando a definição de : Resolvendo para : Então, o elemento neutro para é .

Passo 4

**Existência do elemento inverso para :** Para cada , precisamos encontrar um elemento tal que (o elemento neutro). Usando a definição de : Resolvendo para : Portanto, o inverso de em relação a é .

Passo 5

**Verificando a associatividade da operação :** Precisamos checar se para todos . Calculando: Como ambos os lados são iguais, é associativa.

Passo 6

**Verificando a comutatividade da operação :** A operação é definida por . Para ser comutativa, deve ser que . Calculando: Então, é comutativa.

Passo 7

**Existência do elemento neutro para :** Precisamos encontrar um número tal que para todo . Usando a definição de : Resolvendo para : Para que isso valha para todo , a única solução possível é . Mas verificando: Isso sugere que não há elemento neutro para , o que contraria a estrutura de um anel com unidade. Porém, o problema afirma que há um elemento unidade, então precisamos revisar. Vamos reconsiderar a definição e tentar encontrar outro approach.

Passo 8

**Reavaliando a existência da unidade para :** Vamos supor que exista um elemento tal que . Então: Para que isso seja válido para todo , somente satisfaria a equação. No entanto: o que não faz sentido. Parece que houve um equívoco na operação definida ou na interpretação do elemento unidade. Portanto, **não existe um elemento neutro para a multiplicação definida**, o que significa que **não é um anel com unidade**.

Resposta

Com base nas operações definidas, **não é um anel comutativo com unidade**, pois não existe um elemento neutro para a multiplicação .

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