Considere sobre as operações . definidas por
Mostre que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que é um **anel comutativo com unidade**. Basicamente, isso significa que precisamos verificar se, com as operações definidas por:
a estrutura satisfaz todas as propriedades de um anel comutativo e possui um elemento que age como unidade para a multiplicação. Para isso, vamos checar passo a passo as propriedades necessárias.
Passo 2
**Verificando a comutatividade da operação :**
A operação é definida por . Para ser comutativa, precisa ser que .
Calculando:
Então, é comutativa.
Passo 3
**Existência do elemento neutro para :**
Precisamos encontrar um número tal que para todo .
Usando a definição de :
Resolvendo para :
Então, o elemento neutro para é .
Passo 4
**Existência do elemento inverso para :**
Para cada , precisamos encontrar um elemento tal que (o elemento neutro).
Usando a definição de :
Resolvendo para :
Portanto, o inverso de em relação a é .
Passo 5
**Verificando a associatividade da operação :**
Precisamos checar se para todos .
Calculando:
Como ambos os lados são iguais, é associativa.
Passo 6
**Verificando a comutatividade da operação :**
A operação é definida por . Para ser comutativa, deve ser que .
Calculando:
Então, é comutativa.
Passo 7
**Existência do elemento neutro para :**
Precisamos encontrar um número tal que para todo .
Usando a definição de :
Resolvendo para :
Para que isso valha para todo , a única solução possível é . Mas verificando:
Isso sugere que não há elemento neutro para , o que contraria a estrutura de um anel com unidade. Porém, o problema afirma que há um elemento unidade, então precisamos revisar.
Vamos reconsiderar a definição e tentar encontrar outro approach.
Passo 8
**Reavaliando a existência da unidade para :**
Vamos supor que exista um elemento tal que .
Então:
Para que isso seja válido para todo , somente satisfaria a equação. No entanto:
o que não faz sentido. Parece que houve um equívoco na operação definida ou na interpretação do elemento unidade.
Portanto, **não existe um elemento neutro para a multiplicação definida**, o que significa que **não é um anel com unidade**.
Resposta
Com base nas operações definidas, **não é um anel comutativo com unidade**, pois não existe um elemento neutro para a multiplicação .