Considere sobre R as operações * e. definidas por
a * b=a+b-3 e a cdot b=a+b-a b3
Mostre que (R, *,. ) é um anel comutativo com unidadeé

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que (R, *, cdot) é um anel comutativo com unidade. Basicamente, isso significa que precisamos verificar se, com as operações definidas por:
a * b = a + b - 3 e a cdot b = a + b - ab3,
a estrutura satisfaz todas as propriedades de um anel comutativo e possui um elemento que age como unidade para a multiplicação. Para isso, vamos checar passo a passo as propriedades necessárias.

Passo 2

Verificando a comutatividade da operação *:
A operação * é definida por a * b = a + b - 3. Para ser comutativa, precisa ser que a * b = b * a.
Calculando:
a * b = a + b - 3 = b + a - 3 = b * a
Então, * é comutativa.

Passo 3

Existência do elemento neutro para *:
Precisamos encontrar um número e tal que a * e = a para todo a in R.
Usando a definição de *:
a * e = a + e - 3 = a
Resolvendo para e:
a + e - 3 = a implies e - 3 = 0 implies e = 3
Então, o elemento neutro para * é 3.

Passo 4

Existência do elemento inverso para *:
Para cada a in R, precisamos encontrar um elemento b tal que a * b = 3 (o elemento neutro).
Usando a definição de *:
a * b = a + b - 3 = 3
Resolvendo para b:
a + b - 3 = 3 implies b = 6 - a
Portanto, o inverso de a em relação a * é 6 - a.

Passo 5

Verificando a associatividade da operação *:
Precisamos checar se (a * b) * c = a * (b * c) para todos a, b, c in R.
Calculando:
(a * b) * c = (a + b - 3) + c - 3 = a + b + c - 6,
a * (b * c) = a + (b + c - 3) - 3 = a + b + c - 6
Como ambos os lados são iguais, * é associativa.

Passo 6

Verificando a comutatividade da operação cdot:
A operação cdot é definida por a cdot b = a + b - ab3. Para ser comutativa, deve ser que a cdot b = b cdot a.
Calculando:
a cdot b = a + b - ab3 = b + a - ba3 = b cdot a
Então, cdot é comutativa.

Passo 7

Existência do elemento neutro para cdot:
Precisamos encontrar um número u tal que a cdot u = a para todo a in R.
Usando a definição de cdot:
a cdot u = a + u - a u3 = a
Resolvendo para u:
a + u - a u3 = a implies u - a u3 = 0 implies u (1 - a3) = 0
Para que isso valha para todo a, a única solução possível é u = 0. Mas verificando:
a cdot 0 = a + 0 - a times 03 = a neq a
Isso sugere que não há elemento neutro para cdot, o que contraria a estrutura de um anel com unidade. Porém, o problema afirma que há um elemento unidade, então precisamos revisar.
Vamos reconsiderar a definição e tentar encontrar outro approach.

Passo 8

Reavaliando a existência da unidade para cdot:
Vamos supor que exista um elemento u tal que a cdot u = a.
Então:
a + u - a u3 = a implies u - a u3 = 0 implies u (1 - a3) = 0
Para que isso seja válido para todo a, somente u = 0 satisfaria a equação. No entanto:
a cdot 0 = a + 0 - a times 03 = a neq a,
o que não faz sentido. Parece que houve um equívoco na operação definida ou na interpretação do elemento unidade.
Portanto, não existe um elemento neutro para a multiplicação definida, o que significa que (R, *, cdot) não é um anel com unidade.

Resposta

Com base nas operações definidas, (R, *, cdot) não é um anel comutativo com unidade, pois não existe um elemento neutro para a multiplicação cdot.

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