Considere sobre
as operações
. definidas por
Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que
é um anel comutativo com unidade. Basicamente, isso significa que precisamos verificar se, com as operações definidas por:
a estrutura satisfaz todas as propriedades de um anel comutativo e possui um elemento que age como unidade para a multiplicação. Para isso, vamos checar passo a passo as propriedades necessárias.
Passo 2
Verificando a comutatividade da operação
:
A operação
é definida por
. Para ser comutativa, precisa ser que
.
Calculando:
Então,
é comutativa.
Passo 3
Existência do elemento neutro para
:
Precisamos encontrar um número
tal que
para todo
.
Usando a definição de
:
Resolvendo para
:
Então, o elemento neutro para
é
.
Passo 4
Existência do elemento inverso para
:
Para cada
, precisamos encontrar um elemento
tal que
(o elemento neutro).
Usando a definição de
:
Resolvendo para
:
Portanto, o inverso de
em relação a
é
.
Passo 5
Verificando a associatividade da operação
:
Precisamos checar se
para todos
.
Calculando:
Como ambos os lados são iguais,
é associativa.
Passo 6
Verificando a comutatividade da operação
:
A operação
é definida por
. Para ser comutativa, deve ser que
.
Calculando:
Então,
é comutativa.
Passo 7
Existência do elemento neutro para
:
Precisamos encontrar um número
tal que
para todo
.
Usando a definição de
:
Resolvendo para
:
Para que isso valha para todo
, a única solução possível é
. Mas verificando:
Isso sugere que não há elemento neutro para
, o que contraria a estrutura de um anel com unidade. Porém, o problema afirma que há um elemento unidade, então precisamos revisar.
Vamos reconsiderar a definição e tentar encontrar outro approach.
Passo 8
Reavaliando a existência da unidade para
:
Vamos supor que exista um elemento
tal que
.
Então:
Para que isso seja válido para todo
, somente
satisfaria a equação. No entanto:
o que não faz sentido. Parece que houve um equívoco na operação definida ou na interpretação do elemento unidade.
Portanto, não existe um elemento neutro para a multiplicação definida, o que significa que
não é um anel com unidade.
Resposta
Com base nas operações definidas,
não é um anel comutativo com unidade, pois não existe um elemento neutro para a multiplicação
.