A matriz A abaixo é diagonalizável? Porque?

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A questão pede para saber se a matriz é diagonalizável e por quê. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e multiplicidades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Observando a matriz , ela é uma matriz triangular superior. Nessa situação, os autovalores são os elementos da diagonal principal. Então, os autovalores são:

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicidade geométrica de cada autovalor, ou seja, o número de autovetores linearmente independentes para cada .
Para :
Resolvendo , percebemos que há apenas 1 autovetor para .
Para :
Resolvendo , encontramos que há 2 autovetores para .

Passo 5

Para a matriz ser diagonalizável, a soma das multiplicidades geométrica dos autovalores deve ser igual ao tamanho da matriz (neste caso, 5).
Aqui, temos:
Como , a matriz não possui autovetores suficientes para ser diagonalizável.

Resposta

Não, a matriz não é diagonalizável porque a soma das multiplicidades geométrica de seus autovalores é menor que o tamanho da matriz.

Exercícios relacionados

Uma sequência é uma função que associa a cada número natural um valor real . Por exemplo, é uma sequência onde para todo . Seus primeiros termos são:
Seja o conjunto de todas as sequências de números reais. Defina as operações de adição e multiplicação por escalar em da seguinte forma: para e qualquer número real ,
Prove que, com essas operações, é um espaço vetorial sobre .
Mostre que se , então, a série
é convergente.
Considere sobre as operações . definidas por
Mostre que . é
A matriz A abaixo é diagonalizável? Porque?