Beleza, vamos por partes! A questão pede para saber se a matriz é diagonalizável e por quê. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e multiplicidades para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 3
Observando a matriz , ela é uma matriz triangular superior. Nessa situação, os autovalores são os elementos da diagonal principal. Então, os autovalores são:
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicidade geométrica de cada autovalor, ou seja, o número de autovetores linearmente independentes para cada .
Para :
Resolvendo , percebemos que há apenas 1 autovetor para .
Para :
Resolvendo , encontramos que há 2 autovetores para .
Passo 5
Para a matriz ser diagonalizável, a soma das multiplicidades geométrica dos autovalores deve ser igual ao tamanho da matriz (neste caso, 5).
Aqui, temos:
Como , a matriz não possui autovetores suficientes para ser diagonalizável.
Resposta
Não, a matriz não é diagonalizável porque a soma das multiplicidades geométrica de seus autovalores é menor que o tamanho da matriz.