A matriz A abaixo é diagonalizável? Porque?
A=(lllll 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 2 )

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A questão pede para saber se a matriz é diagonalizável e por quê. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e multiplicidades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Observando a matriz lambda1 = 1 (com mu, ela é uma matriz triangular superior. Nessa situação, os autovalores são os elementos da diagonal principal. Então, os autovalores são:

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicidade geométrica de cada autovalor, ou seja, o número de autovetores linearmente independentes para cada A - I = 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 .
Para A - 2I = -1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 :
Resolvendo , percebemos que há apenas 1 autovetor para .
Para :
Resolvendo , encontramos que há 2 autovetores para .

Passo 5

Para a matriz ser diagonalizável, a soma das multiplicidades geométrica dos autovalores deve ser igual ao tamanho da matriz (neste caso, 5).
Aqui, temos:
1 , (lambda = 1) + 2 , (lambda = 2) = 3
Como , a matriz não possui autovetores suficientes para ser diagonalizável.

Resposta

Não, a matriz não é diagonalizável porque a soma das multiplicidades geométrica de seus autovalores é menor que o tamanho da matriz.

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