A série tem termos alternadamente positivos e negativos e seu termo geral tende a zero. Entretanto, a série é divergente. Por que isto não contradiz o Critério de Leibniz?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado que você enviou. Temos uma série que alterna termos positivos e negativos:
O enunciado diz que o termo geral dessa série tende a zero, mas a série como um todo é divergente. A pergunta é: por que isso não contraria o Critério de Leibniz?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Critério de Leibniz e como ele se aplica a séries alternadas.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é o Critério de Leibniz. Ele é usado para determinar a convergência de séries alternadas, ou seja, séries com termos que mudam de sinal. O critério diz que uma série alternada:
converge se duas condições forem atendidas:
Os termos são decrescentes: para todo .
O limite dos termos é zero: .
Então, se essas duas condições forem verdadeiras, a série converge segundo o Critério de Leibniz.
Passo 3
Agora, vamos analisar a série dada:
Podemos reescrever os termos de forma mais clara, identificando os positivos e negativos:
Termos positivos:
Termos negativos:
Observamos que os termos positivos não estão necessariamente diminuindo: , e assim por diante. Entretanto, os termos negativos também não estão diminuindo em valor absoluto de forma consistente.
Passo 4
Vamos verificar as condições do Critério de Leibniz para esta série:
Decrescimento dos termos: Para que o critério seja aplicado, os termos devem ser decrescentes. No entanto, na série dada, os termos não diminuem de forma consistente. Por exemplo, , mas depois temos , o que não mantém uma ordem decrescente clara.
Limite dos termos: O enunciado nos informa que o termo geral tende a zero, ou seja, . Essa condição está atendida.
Como a primeira condição do Critério de Leibniz (decrescimento dos termos) não é satisfeita, o critério não pode ser aplicado para garantir a convergência da série.
Passo 5
Portanto, mesmo que os termos da série tendam a zero, a falta de decrescimento consistente impede a aplicação do Critério de Leibniz. Isso explica por que a série é divergente sem contradir o critério.
Resposta
A série não contradiz o Critério de Leibniz porque, embora os termos tendam a zero, eles não diminuem de forma monótona. Assim, o critério não se aplica, permitindo que a série seja divergente.