Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta é sobre verificar se a matriz é diagonalizável. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre diagonalização de matrizes. Precisaremos analisar os blocos que compõem a matriz para determinar se cada um deles é diagonalizável.
Passo 2
A matriz dada é:
Podemos notar que é uma matriz em bloco diagonal, ou seja, ela é composta por blocos menores que não interagem entre si. Esses blocos são:
Passo 3
Para que a matriz seja diagonalizável, cada bloco , e também precisa ser diagonalizável. Vamos analisar cada um deles separadamente.
Passo 4
Bloco :
Esse é um bloco simétrico, pois . Sabemos que matrizes simétricas são sempre diagonalizáveis porque elas possuem autovalores reais e autovetores ortogonais. Portanto, é diagonalizável.
Passo 5
Bloco :
Esse é um bloco de ordem 1, ou seja, uma matriz . Todas as matrizes de ordem 1 são triviaismente diagonalizáveis, pois elas já estão na forma diagonal. Logo, é diagonalizável.
Passo 6
Bloco :
Esse também é um bloco simétrico, pois . Assim como o bloco , o bloco é diagonalizável porque matrizes simétricas têm autovalores reais e autovetores ortogonais.
Passo 7
Como todos os blocos , e são diagonalizáveis, a matriz , que é uma matriz em bloco diagonal formada por esses blocos, também é diagonalizável. Isso acontece porque a diagonalização de uma matriz em bloco diagonal pode ser feita diagonalizando cada um dos seus blocos separadamente.
Resposta
Sim, a matriz é diagonalizável porque todos os seus blocos componentes são diagonalizáveis.