Considere sobre
as operações
definidas por
Mostre que
é um anel comutativo com unidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o conjunto dos números inteiros,
, com as operações
e
definidas por:
é um anel comutativo com unidade. Isso está dentro do campo da álgebra abstrata, mais especificamente da teoria de anéis. Para resolver isso, precisamos verificar se
satisfaz todas as propriedades exigidas para ser um anel comutativo com unidade. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na operação
. Precisamos verificar se
forma um grupo abeliano sob adição, já que a adição é uma parte essencial da definição de um anel.
1. Comutatividade:
A operação é comutativa se para todo
,
A operação
Vamos verificar:
Então,
é comutativa.
2. Associatividade:
A operação é associativa se para todo
,
A operação
Vamos calcular cada lado:
Portanto,
é associativa.
3. Elemento neutro:
Precisamos encontrar um elemento tal que para todo
,
Precisamos encontrar um elemento
Vamos resolver:
Então, o elemento neutro é
.
4. Elemento inverso:
Para cada , precisamos de um
tal que
Para cada
Resolvendo:
Então, o inverso de
é
.
Como
satisfaz todas as propriedades,
é um grupo abeliano.
Passo 3
Agora, vamos analisar a operação
e verificar se ela é associativa e comutativa, além de verificar a distribuição sobre
.
1. Comutatividade:
A operação é comutativa se para todo
,
A operação
Vamos ver:
Então,
é comutativa.
2. Associatividade:
Para verificar associatividade, precisamos mostrar que para todo ,
Para verificar associatividade, precisamos mostrar que para todo
Vamos calcular cada lado:
Primeiro,
.
Então,
Simplificando:
Agora, calculando
, então:
Vemos que ambos os lados resultam em
, então
é associativa.
3. Distribuição:
Precisamos verificar se distribui sobre
, ou seja, para todo
,
Precisamos verificar se
Vamos calcular cada lado:
Primeiro,
, então:
Agora,
e
, então:
Os dois lados são iguais, então
distribui sobre
.
Passo 4
Por último, precisamos encontrar o elemento identidade multiplicativa na operação
. Ou seja, encontrar um elemento
tal que para todo
,
Vamos resolver:
Isso deve valer para todo
. A única solução possível é
:
Então, o elemento identidade multiplicativa é
.
Resposta
Assim, verificamos que
satisfaz todas as propriedades de um anel comutativo com unidade, sendo que a unidade multiplicativa é
. Portanto,
é um anel comutativo com unidade.
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. Além disso, assuma que existe
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