Considere sobre as operações definidas por
е
Mostre que é um anel comutativo com unidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o conjunto dos números inteiros, , com as operações e definidas por:
é um anel comutativo com unidade. Isso está dentro do campo da álgebra abstrata, mais especificamente da teoria de anéis. Para resolver isso, precisamos verificar se satisfaz todas as propriedades exigidas para ser um anel comutativo com unidade. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na operação . Precisamos verificar se forma um grupo abeliano sob adição, já que a adição é uma parte essencial da definição de um anel.
1. Comutatividade:
A operação é comutativa se para todo ,
Vamos verificar:
Então, é comutativa.
2. Associatividade:
A operação é associativa se para todo ,
Vamos calcular cada lado:
Portanto, é associativa.
3. Elemento neutro:
Precisamos encontrar um elemento tal que para todo ,
Vamos resolver:
Então, o elemento neutro é .
4. Elemento inverso:
Para cada , precisamos de um tal que
Resolvendo:
Então, o inverso de é .
Como satisfaz todas as propriedades, é um grupo abeliano.

Passo 3

Agora, vamos analisar a operação e verificar se ela é associativa e comutativa, além de verificar a distribuição sobre .
1. Comutatividade:
A operação é comutativa se para todo ,
Vamos ver:
Então, é comutativa.
2. Associatividade:
Para verificar associatividade, precisamos mostrar que para todo ,
Vamos calcular cada lado:
Primeiro, .
Então,
Simplificando:
Agora, calculando , então:
Vemos que ambos os lados resultam em , então é associativa.
3. Distribuição:
Precisamos verificar se distribui sobre , ou seja, para todo ,
Vamos calcular cada lado:
Primeiro, , então:
Agora, e , então:
Os dois lados são iguais, então distribui sobre .

Passo 4

Por último, precisamos encontrar o elemento identidade multiplicativa na operação . Ou seja, encontrar um elemento tal que para todo ,
Vamos resolver:
Isso deve valer para todo . A única solução possível é :
Então, o elemento identidade multiplicativa é .

Resposta

Assim, verificamos que satisfaz todas as propriedades de um anel comutativo com unidade, sendo que a unidade multiplicativa é . Portanto, é um anel comutativo com unidade.

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