Suponha que seja uma série convergente. Assuma que , para todo . Mostre que: Mostre que as séries e são absolutamente convergentes, para todo .

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui? A gente tem uma série infinita que converge, e cada termo é maior ou igual a zero. O objetivo é mostrar que as séries e também são absolutamente convergentes para qualquer número real . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries e como aplicar propriedades de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma coisa importante: os valores de e estão sempre entre -1 e 1. Ou seja, para qualquer e qualquer , temos:
Isso é fundamental porque nos ajuda a estimar os termos das séries que queremos estudar.

Passo 3

Agora, para mostrar que as séries e são absolutamente convergentes, a gente precisa analisar a série dos valores absolutos:
Como e são menores ou iguais a 1, podemos escrever:

Passo 4

Sabemos que a série original é convergente e como todos os são positivos ( ), ela também é absolutamente convergente. Agora, usando o Critério da Comparação, que diz que se uma série é menor ou igual a uma série convergente , então também converge, podemos aplicar isso aqui.
Para a série com seno:
E para a série com cosseno:
Como converge, pelas comparações, ambas as séries com seno e cosseno também convergem.

Resposta

Portanto, as séries e são absolutamente convergentes para todo .

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е
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