Suponha que
seja uma série convergente. Assuma que
, para todo
. Mostre que: Mostre que as séries
e
são absolutamente convergentes, para todo
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui? A gente tem uma série infinita
que converge, e cada termo
é maior ou igual a zero. O objetivo é mostrar que as séries
e
também são absolutamente convergentes para qualquer número real
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries e como aplicar propriedades de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma coisa importante: os valores de
e
estão sempre entre -1 e 1. Ou seja, para qualquer
e qualquer
, temos:
Isso é fundamental porque nos ajuda a estimar os termos das séries que queremos estudar.
Passo 3
Agora, para mostrar que as séries
e
são absolutamente convergentes, a gente precisa analisar a série dos valores absolutos:
Como
e
são menores ou iguais a 1, podemos escrever:
Passo 4
Sabemos que a série original
é convergente e como todos os
são positivos (
), ela também é absolutamente convergente. Agora, usando o Critério da Comparação, que diz que se uma série
é menor ou igual a uma série convergente
, então
também converge, podemos aplicar isso aqui.
Para a série com seno:
E para a série com cosseno:
Como
converge, pelas comparações, ambas as séries com seno e cosseno também convergem.
Resposta
Portanto, as séries
e
são absolutamente convergentes para todo
.