Suponha que sumn=1^+infty an seja uma série convergente. Assuma que an >= 0, para todo n in N. Mostre que: Mostre que as séries sumn=1^+infty an sen(n x) e sumn=1^+infty an cos (n x) são absolutamente convergentes, para todo x in R.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui? A gente tem uma série infinita que converge, e cada termo é maior ou igual a zero. O objetivo é mostrar que as séries e também são absolutamente convergentes para qualquer número real . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries e como aplicar propriedades de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma coisa importante: os valores de |sin(n x)| <= 1 e |cos(n x)| <= 1 e estão sempre entre -1 e 1. Ou seja, para qualquer e qualquer , temos:
Isso é fundamental porque nos ajuda a estimar os termos das séries que queremos estudar.

Passo 3

Agora, para mostrar que as séries sum |an sin(n x)| e sum |an cos(n x)| e |an sin(n x)| <= an e |an cos(n x)| <= an são absolutamente convergentes, a gente precisa analisar a série dos valores absolutos:
Como e são menores ou iguais a 1, podemos escrever:

Passo 4

Sabemos que a série original sum |an sin(n x)| <= sum an é convergente e como todos os sum |an cos(n x)| <= sum an são positivos ( ), ela também é absolutamente convergente. Agora, usando o Critério da Comparação, que diz que se uma série é menor ou igual a uma série convergente , então também converge, podemos aplicar isso aqui.
Para a série com seno:
E para a série com cosseno:
Como converge, pelas comparações, ambas as séries com seno e cosseno também convergem.

Resposta

Portanto, as séries e são absolutamente convergentes para todo .

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