Encontre o valor de
para o qual
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de
que faz a soma da sequência infinita
ser igual a 5. Vamos usar conhecimentos de séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que essa sequência é uma série geométrica. Isso significa que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. No nosso caso, a razão
é
.
Passo 3
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
onde
é a soma,
é o primeiro termo e
é a razão. Importante: essa fórmula só é válida se
.
Passo 4
Aplicando a fórmula à nossa série, temos:
Aqui,
e
.
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Passo 6
Para encontrar
, vamos usar o logaritmo natural:
Resposta
O valor de
é
.