Encontre o valor de para o qual

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de que faz a soma da sequência infinita ser igual a 5. Vamos usar conhecimentos de séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que essa sequência é uma série geométrica. Isso significa que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. No nosso caso, a razão é .

Passo 3

A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
onde é a soma, é o primeiro termo e é a razão. Importante: essa fórmula só é válida se .

Passo 4

Aplicando a fórmula à nossa série, temos:
Aqui, e .

Passo 5

Agora, vamos resolver para :

Passo 6

Para encontrar , vamos usar o logaritmo natural:

Resposta

O valor de é .

Exercícios relacionados

Suponha que seja uma série convergente. Assuma que , para todo . Mostre que: Mostre que as séries e são absolutamente convergentes, para todo .
Considere como o conjunto de pares ordenados de números reais. Para e elementos de e , defina as operações:
Verifique se é um espaço vetorial sobre com essas operações de soma de vetores e multiplicação por escalar. Caso não seja, identifique quais axiomas de espaço vetorial não são satisfeitos e justifique sua resposta.
Considere sobre as operações definidas por
е
Mostre que é um anel comutativo com unidade.
Suponha que seja uma sequência de números reais. Assuma que , para cada . Além disso, assuma que existe tal que
Mostre que a série é divergente.