Encontre o valor de t para o qual
1+e^t+e^2 t+e^3 t+e^4 t+ldots=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de que faz a soma da sequência infinita ser igual a 5. Vamos usar conhecimentos de séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que essa sequência é uma série geométrica. Isso significa que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. No nosso caso, a razão é .

Passo 3

A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
S = a1 - r
onde é a soma, é o primeiro termo e é a razão. Importante: essa fórmula só é válida se .

Passo 4

Aplicando a fórmula à nossa série, temos:
5 = 11 - e^t
Aqui, e .

Passo 5

Agora, vamos resolver para 1 - e^t = 15 e^t = 1 - 15 e^t = 45 :

Passo 6

Para encontrar t = ln(45) , vamos usar o logaritmo natural:

Resposta

O valor de é .

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