Encontre o valor de
para o qual
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de
que faz a soma da sequência infinita
ser igual a 5. Vamos usar conhecimentos de séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que essa sequência é uma série geométrica. Isso significa que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. No nosso caso, a razão
é
.
Passo 3
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
onde
é a soma,
é o primeiro termo e
é a razão. Importante: essa fórmula só é válida se
.
Passo 4
Aplicando a fórmula à nossa série, temos:
Aqui,
e
.
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Passo 6
Para encontrar
, vamos usar o logaritmo natural:
Resposta
O valor de
é
.
Exercícios relacionados
Suponha que
seja uma série convergente. Assuma que
, para todo
. Mostre que: Mostre que as séries
e
são absolutamente convergentes, para todo
.
Considere
como o conjunto de pares ordenados de números reais. Para
e
elementos de
e
, defina as operações:
Verifique se
é um espaço vetorial sobre
com essas operações de soma de vetores e multiplicação por escalar. Caso não seja, identifique quais axiomas de espaço vetorial não são satisfeitos e justifique sua resposta.
Considere sobre
as operações
definidas por
Mostre que
é um anel comutativo com unidade.
Suponha que
seja uma sequência de números reais. Assuma que
, para cada
. Além disso, assuma que existe
tal que
Mostre que a série
é divergente.