Considere que o Sol é um corpo negro de temperatura 5700 K . O diâmetro do Sol é aproximadamente 1,4 times 10^9 m e sua massa é 2,0 times 10^30 Kg.
(b) A fonte de energia solar são fusões termonucleares. Utilizando a expressão E=m c^2, calcule a massa transformada por segundo em radiação pelo Sol.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre como o Sol gera energia através de fusões termonucleares. A gente vai usar a famosa equação para descobrir quanta massa o Sol está transformando em energia toda segunda. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a relação entre energia e massa, além de usar a informação da temperatura e do diâmetro do Sol para calcular a energia que ele emite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação . Essa equação, de Albert Einstein, nos diz que a energia ( ) é igual à massa ( ) multiplicada pela velocidade da luz ao quadrado ( ). Ou seja, uma pequena quantidade de massa pode se transformar em uma quantidade enorme de energia.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a quantidade de energia que o Sol emite por segundo, que é conhecida como luminosidade ( L = 4 pi R^2 sigma T^4 ). Para isso, vamos usar a Lei de Stefan-Boltzmann, que nos mostra como a energia irradiada por um corpo negro (como o Sol) depende de sua temperatura e de sua área de superfície. A fórmula é:
Onde:
  • é a luminosidade,
  • é o raio do Sol,
  • é a constante de Stefan-Boltzmann ( ),
  • é a temperatura do Sol.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar o raio do Sol. Sabemos que o diâmetro do Sol é R = 1,4 times 10^9 , m2 = 7,0 times 10^8 , m , então o raio ( ) é metade disso:

Passo 5

Agora, vamos calcular a luminosidade ( L = 4 pi (7,0 times 10^8 , m)^2 times 5,67 times 10^-8 , W/m^2K^4 times (5700 , K)^4 ) usando a fórmula da Lei de Stefan-Boltzmann:
L = 4 pi times 4,9 times 10^17 times 5,67 times 10^-8 times 1,053 times 10^15
Vamos calcular passo a passo:
  1. L approx 3,846 times 10^26 , W
  2. Multiplicando tudo:

Passo 6

Agora que temos a luminosidade m = Ec^2 , que representa a energia emitida pelo Sol por segundo, podemos usar a equação m = Lc^2 para encontrar a massa ( ) que é convertida em energia a cada segundo.
Rearranjando a equação para encontrar :
Como aqui é a energia emitida por segundo ( ), temos:
Onde é a velocidade da luz ( ).

Passo 7

Agora, vamos calcular a massa transformada por segundo:
m = 3,846 times 10^26 , W(3 times 10^8 , m/s)^2 = 3,846 times 10^269 times 10^16 approx 4,273 times 10^9 , kg/s

Resposta

O Sol transforma aproximadamente de massa em energia por segundo.

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