A função y(x, t)=0,15 sen(pi x-15 pi t), com x em metros e t em segundos, descreve uma onda em uma corda esticada. Qual é a velocidade transversal de um ponto na corda no instante em que este ponto possui o deslocamento y=12 cm ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma onda numa corda esticada, e a gente precisa encontrar a velocidade transversal de um ponto específico na corda, quando esse ponto está com um deslocamento de 12 cm. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de onda e como calcular a velocidade de um ponto numa onda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função da onda que foi dada:
y(x, t) = 0,15 cdot sin(pi x - 15pi t)
Aqui, representa o deslocamento transversal de um ponto na corda em função da posição e do tempo .

Passo 3

A velocidade transversal de um ponto na corda é a taxa de variação do deslocamento em relação ao tempo. Matematicamente, isso é dado pela derivada da função vy = partial ypartial t em relação ao tempo :

Passo 4

Vamos calcular essa derivada. Dada a função:
y(x, t) = 0,15 cdot sin(pi x - 15pi t)
A derivada em relação a vy = partial ypartial t = 0,15 cdot cos(pi x - 15pi t) cdot (-15pi) é:
vy = -0,15 cdot 15pi cdot cos(pi x - 15pi t)
Simplificando:
vy = -2,25pi cdot cos(pi x - 15pi t)

Passo 5

Agora, queremos encontrar a velocidade transversal no instante em que o deslocamento 12 cm = 0,12 m cm. Primeiro, vamos converter 12 cm para metros:
y = 0,15 cdot sin(pi x - 15pi t) = 0,12
Sabemos que:
sin(pi x - 15pi t) = 0,120,15 = 0,8
Vamos isolar o seno:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor de cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1 . Sabemos que:
cos(pi x - 15pi t) = raiz1 - sin^2(pi x - 15pi t) = raiz1 - 0,8^2 = raiz1 - 0,64 = raiz0,36 = 0,6
Então:

Passo 7

Agora, substituímos esse valor na expressão da velocidade transversal:
vy = -2,25pi cdot 0,6 = -1,35pi , m/s

Resposta

A velocidade transversal do ponto na corda quando o deslocamento é de 12 cm é metros por segundo.

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