A função
, com
em metros e
em segundos, descreve uma onda em uma corda esticada. Qual é a velocidade transversal de um ponto na corda no instante em que este ponto possui o deslocamento
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma onda numa corda esticada, e a gente precisa encontrar a velocidade transversal de um ponto específico na corda, quando esse ponto está com um deslocamento de 12 cm. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de onda e como calcular a velocidade de um ponto numa onda.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função da onda que foi dada:
Aqui,
representa o deslocamento transversal de um ponto na corda em função da posição
e do tempo
.
Passo 3
A velocidade transversal de um ponto na corda é a taxa de variação do deslocamento em relação ao tempo. Matematicamente, isso é dado pela derivada da função
em relação ao tempo
:
Passo 4
Vamos calcular essa derivada. Dada a função:
A derivada em relação a
é:
Simplificando:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a velocidade transversal no instante em que o deslocamento
cm. Primeiro, vamos converter 12 cm para metros:
Sabemos que:
Vamos isolar o seno:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o valor de
. Sabemos que:
Então:
Passo 7
Agora, substituímos esse valor na expressão da velocidade transversal:
Resposta
A velocidade transversal do ponto na corda quando o deslocamento é de 12 cm é
metros por segundo.