A função , com em metros e em segundos, descreve uma onda em uma corda esticada. Qual é a velocidade transversal de um ponto na corda no instante em que este ponto possui o deslocamento ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma onda numa corda esticada, e a gente precisa encontrar a velocidade transversal de um ponto específico na corda, quando esse ponto está com um deslocamento de 12 cm. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de onda e como calcular a velocidade de um ponto numa onda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função da onda que foi dada:
Aqui, representa o deslocamento transversal de um ponto na corda em função da posição e do tempo .

Passo 3

A velocidade transversal de um ponto na corda é a taxa de variação do deslocamento em relação ao tempo. Matematicamente, isso é dado pela derivada da função em relação ao tempo :

Passo 4

Vamos calcular essa derivada. Dada a função:
A derivada em relação a é:
Simplificando:

Passo 5

Agora, queremos encontrar a velocidade transversal no instante em que o deslocamento cm. Primeiro, vamos converter 12 cm para metros:
Sabemos que:
Vamos isolar o seno:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor de . Sabemos que:
Então:

Passo 7

Agora, substituímos esse valor na expressão da velocidade transversal:

Resposta

A velocidade transversal do ponto na corda quando o deslocamento é de 12 cm é metros por segundo.

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