Considere um solenóide com n voltas por unidade de comprimento, raio R, comprimento ell e conduzindo uma corrente I, cujo eixo coincide com o eixo z (uma extremidade está em z=-ell / 2 e a outra em z=+ell / 2 ). Como foi mostrado na aula, o campo magnético em um ponto no eixo z é dado por B= mu0 n I / 2(cos theta2-cos theta1). Para z gg ell e z gg R, os ângulos theta1 e theta2 são muito pequenos. (b) Usando estas aproximações, mostre que o campo magnético nos pontos do eixo z onde z gg ell pode ser escrito como
B=mu0 ms4 pi ell(1r1^2-1r2^2)
onde r1=z-ell / 2 e r2=z+ell / 2, e ms=n I pi ell R^2=N I pi R^2 é a magnitude do momento magnético do solenóide.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um solenóide com algumas características: número de voltas por unidade de comprimento ( n), raio ( R), comprimento ( ell) e corrente elétrica ( I) passando por ele. O eixo do solenóide está alinhado com o eixo z. Queremos descobrir como o campo magnético ( B) no eixo z se comporta quando estamos bem longe do solenóide, ou seja, quando z é muito maior que ell e R. Para isso, vamos usar conceitos de magnetostática e algumas aproximações para simplificar a expressão do campo magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que já nos foi dada para o campo magnético no eixo z de um solenóide:
B = mu0 n I2 ( cos theta2 - cos theta1 )
Aqui, mu0 é a permeabilidade do vácuo, n é o número de voltas por unidade de comprimento, I é a corrente, e theta1, theta2 são os ângulos que descrevem a posição do ponto onde estamos calculando o campo em relação às extremidades do solenóide.

Passo 3

Como estamos considerando que z gg ell e z gg R, os ângulos theta1 e theta2 são muito pequenos. Quando os ângulos são pequenos, podemos usar a aproximação cos theta approx 1 - theta^22. Mas, para simplificar ainda mais, podemos considerar que cos theta approx 1 para ângulos muito pequenos, já que as diferenças serão mínimas.

Passo 4

Vamos agora relacionar os ângulos com as distâncias r1 e r2. Definimos:
r1 = z - ell2 e r2 = z + ell2
Essas são as distâncias do ponto onde estamos calculando o campo até as duas extremidades do solenóide.

Passo 5

Substituindo essas definições na expressão do campo magnético, temos:
B = mu0 n I2 ( cos theta2 - cos theta1 ) approx mu0 n I2 ( 1r2^2 - 1r1^2 )
Aqui, usamos a relação entre cos theta e r para pequenas aproximações, onde cos theta approx 1r^2.

Passo 6

Agora, vamos introduzir o momento magnético do solenóide, que é dado por:
ms = n I pi ell R^2 = N I pi R^2
onde N é o número total de voltas ( N = n ell).

Passo 7

Substituindo ms na expressão do campo magnético, temos:
B = mu0 ms4 pi ell ( 1r1^2 - 1r2^2 )
Essa é a forma simplificada do campo magnético no eixo z para z gg ell e z gg R.

Resposta

Portanto, o campo magnético nos pontos do eixo z onde z gg ell pode ser escrito como
B = mu0 ms4 pi ell ( 1r1^2 - 1r2^2 )
onde r1 = z - ell2, r2 = z + ell2 e ms = n I pi ell R^2 = N I pi R^2 é o momento magnético do solenóide.

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