Considere um solenóide com
voltas por unidade de comprimento, raio
, comprimento
e conduzindo uma corrente
, cujo eixo coincide com o eixo
(uma extremidade está em
e a outra em
). Como foi mostrado na aula, o campo magnético em um ponto no eixo
é dado por
. Para
e
, os ângulos
e
são muito pequenos. (b) Usando estas aproximações, mostre que o campo magnético nos pontos do eixo
onde
pode ser escrito como
onde
e
, e
é a magnitude do momento magnético do solenóide.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um solenóide com algumas características: número de voltas por unidade de comprimento (
), raio (
), comprimento (
) e corrente elétrica (
) passando por ele. O eixo do solenóide está alinhado com o eixo
. Queremos descobrir como o campo magnético (
) no eixo
se comporta quando estamos bem longe do solenóide, ou seja, quando
é muito maior que
e
. Para isso, vamos usar conceitos de magnetostática e algumas aproximações para simplificar a expressão do campo magnético.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula que já nos foi dada para o campo magnético no eixo
de um solenóide:
Aqui,
é a permeabilidade do vácuo,
é o número de voltas por unidade de comprimento,
é a corrente, e
,
são os ângulos que descrevem a posição do ponto onde estamos calculando o campo em relação às extremidades do solenóide.
Passo 3
Como estamos considerando que
e
, os ângulos
e
são muito pequenos. Quando os ângulos são pequenos, podemos usar a aproximação
. Mas, para simplificar ainda mais, podemos considerar que
para ângulos muito pequenos, já que as diferenças serão mínimas.
Passo 4
Vamos agora relacionar os ângulos com as distâncias
e
. Definimos:
Essas são as distâncias do ponto onde estamos calculando o campo até as duas extremidades do solenóide.
Passo 5
Substituindo essas definições na expressão do campo magnético, temos:
Aqui, usamos a relação entre
e
para pequenas aproximações, onde
.
Passo 6
Agora, vamos introduzir o momento magnético do solenóide, que é dado por:
onde
é o número total de voltas (
).
Passo 7
Substituindo
na expressão do campo magnético, temos:
Essa é a forma simplificada do campo magnético no eixo
para
e
.
Resposta
Portanto, o campo magnético nos pontos do eixo
onde
pode ser escrito como
onde
,
e
é o momento magnético do solenóide.