Encontre a densidade volumétrica de cargas elétricas que gera um campo elétrico dado por
. Calcule o potencial elétrico associado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a densidade volumétrica de carga elétrica que gera um campo elétrico específico, dado por
, e também calcular o potencial elétrico associado a esse campo. Vamos usar conceitos de eletrostática, principalmente a Lei de Gauss para relacionar o campo elétrico com a densidade de carga, e também a relação entre campo elétrico e potencial elétrico para encontrar a resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o campo elétrico dado:
. Isso parece um campo gerado por uma distribuição de carga simétrica, possivelmente esférica. Para encontrar a densidade volumétrica de carga
, podemos usar a Lei de Gauss, que relaciona o divergente do campo elétrico com a densidade de carga:
Passo 3
Vamos calcular o divergente do campo elétrico
. Em coordenadas esféricas, o divergente de um campo radial
é dado por:
No nosso caso,
. Então:
Isso indica que, exceto possivelmente na origem, a densidade de carga é zero.
Passo 4
Para encontrar a densidade de carga na origem, vamos considerar a integral da divergência do campo elétrico sobre todo o espaço. Pela Lei da Gauss:
Sabemos que o campo elétrico dado corresponde a uma carga pontual no origem. Portanto, a densidade de carga
é uma função delta de Dirac:
Passo 5
Agora, vamos calcular o potencial elétrico
associado a esse campo elétrico. A relação entre o campo elétrico e o potencial é:
Para sistemas com simetria esférica, o potencial depende apenas da distância
. Então, podemos escrever:
Integrando ambos os lados:
Substituindo
:
Escolhemos a constante
tal que
, então
.
Resposta
A densidade volumétrica de carga elétrica é dada por:
E o potencial elétrico associado é: