Encontre a densidade volumétrica de cargas elétricas que gera um campo elétrico dado por E(r)=q r / 4 pi varepsilon0 r^3. Calcule o potencial elétrico associado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a densidade volumétrica de carga elétrica que gera um campo elétrico específico, dado por E(r) = q r4 pi varepsilon0 r^3, e também calcular o potencial elétrico associado a esse campo. Vamos usar conceitos de eletrostática, principalmente a Lei de Gauss para relacionar o campo elétrico com a densidade de carga, e também a relação entre campo elétrico e potencial elétrico para encontrar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o campo elétrico dado: E(r) = q r4 pi varepsilon0 r^3. Isso parece um campo gerado por uma distribuição de carga simétrica, possivelmente esférica. Para encontrar a densidade volumétrica de carga rho(r), podemos usar a Lei de Gauss, que relaciona o divergente do campo elétrico com a densidade de carga:
nabla cdot E = rho(r)varepsilon0

Passo 3

Vamos calcular o divergente do campo elétrico E(r). Em coordenadas esféricas, o divergente de um campo radial E = Er(r) r é dado por:
nabla cdot E = 1r^2 ddr( r^2 Er(r) )
No nosso caso, Er(r) = q4 pi varepsilon0 r^2. Então:
nabla cdot E = 1r^2 ddr( r^2 cdot q4 pi varepsilon0 r^2 ) = 1r^2 ddr( q4 pi varepsilon0 ) = 0
Isso indica que, exceto possivelmente na origem, a densidade de carga é zero.

Passo 4

Para encontrar a densidade de carga na origem, vamos considerar a integral da divergência do campo elétrico sobre todo o espaço. Pela Lei da Gauss:
integral nabla cdot E , dV = Qtotalvarepsilon0
Sabemos que o campo elétrico dado corresponde a uma carga pontual no origem. Portanto, a densidade de carga rho(r) é uma função delta de Dirac:
rho(r) = q de

Passo 5

Agora, vamos calcular o potencial elétrico V(r) associado a esse campo elétrico. A relação entre o campo elétrico e o potencial é:
E = -nabla V
Para sistemas com simetria esférica, o potencial depende apenas da distância r. Então, podemos escrever:
Er(r) = -dVdr
Integrando ambos os lados:
V(r) = -integral Er(r) dr + C
Substituindo Er(r) = q4 pi varepsilon0 r^2:
V(r) = -integral q4 pi varepsilon0 r^2 dr + C = q4 pi varepsilon0 r + C
Escolhemos a constante C tal que V(infty) = 0, então C = 0.

Resposta

A densidade volumétrica de carga elétrica é dada por:
rho(r) = q de
E o potencial elétrico associado é:
V(r) = q4 pi varepsilon0 r

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