Considere o sólido
que está acima do semi-cone
e dentro da esfera
. Descreva
em coordenadas esféricas.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido
que está acima do semi-cone dado por
e dentro da esfera
. O conteúdo envolvido aqui são coordenadas esféricas, que são uma forma de representar pontos no espaço usando uma distância do ponto à origem (
), o ângulo com o eixo z (
) e o ângulo no plano xy (
). Para resolver, vamos precisar converter as equações do semi-cone e da esfera para coordenadas esféricas e determinar os limites que descrevem o sólido
.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a equação da esfera para coordenadas esféricas. Sabemos que em coordenadas esféricas:
Substituindo na equação da esfera:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Então, a esfera em coordenadas esféricas é
.
Passo 3
Agora, vamos converter a equação do semi-cone para coordenadas esféricas. A equaç��o do cone é:
Substituindo pelas coordenadas esféricas:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Então, o semi-cone em coordenadas esféricas é
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites para
,
e
que descrevem o sólido
.
-
Para
: Como o sólido é simétrico em torno do eixo z e não há restrições angulares, varia de a . -
Para
: O sólido está acima do semi-cone , então varia de a . -
Para
: Dentro da esfera . Então, varia de até .
Resposta
Em coordenadas esféricas, o sólido
é descrito por:
Exercícios relacionados
Um cubo sólido no
octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos
e
. Sua densidade é
.
Encontre: a) A massa do sólido.
Resp:
Encontre: a) A massa do sólido.
Resp:
Uma lâmina fina ocupa toda a região
. Determine o momento de inércia dessa lâmina em torno do eixo
sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto até a origem.
Considere o sólido
que está acima do semi-cone
e dentro da esfera
. Calcule o volume de
.