Considere o sólido que está acima do semi-cone e dentro da esfera . Descreva em coordenadas esféricas.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido que está acima do semi-cone dado por e dentro da esfera . O conteúdo envolvido aqui são coordenadas esféricas, que são uma forma de representar pontos no espaço usando uma distância do ponto à origem ( ), o ângulo com o eixo z ( ) e o ângulo no plano xy ( ). Para resolver, vamos precisar converter as equações do semi-cone e da esfera para coordenadas esféricas e determinar os limites que descrevem o sólido .

Passo 2

Primeiro, vamos converter a equação da esfera para coordenadas esféricas. Sabemos que em coordenadas esféricas:
Substituindo na equação da esfera:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Então, a esfera em coordenadas esféricas é .

Passo 3

Agora, vamos converter a equação do semi-cone para coordenadas esféricas. A equaç��o do cone é:
Substituindo pelas coordenadas esféricas:
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Então, o semi-cone em coordenadas esféricas é .

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites para , e que descrevem o sólido .
  • Para : Como o sólido é simétrico em torno do eixo z e não há restrições angulares, varia de a .
  • Para : O sólido está acima do semi-cone , então varia de a .
  • Para : Dentro da esfera . Então, varia de até .

Resposta

Em coordenadas esféricas, o sólido é descrito por:

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Um cubo sólido no octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos e . Sua densidade é .
Encontre: a) A massa do sólido.
Resp:
Uma lâmina fina ocupa toda a região . Determine o momento de inércia dessa lâmina em torno do eixo sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto até a origem.
Considere o sólido que está acima do semi-cone e dentro da esfera . Calcule o volume de .