Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente lidando com equações lineares de coeficientes constantes e condições iniciais. Vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação e, em seguida, aplicar as condições iniciais para determinar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, encontramos as raízes da equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas raízes reais e distintas:

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Como o lado direito é , vamos supor uma solução particular da forma:
(Escolhemos essa forma porque não é solução da homogênea, e incluímos termos polinomiais em para lidar com o polinômio multiplicativo.)
Calculando as derivadas:
Substituindo , e na equação original e igualando os coeficientes, encontramos os valores de e . Após simplificar, obtemos:
Portanto, a solução particular é:

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :
Agora, diferenciando :
Simplificando e avaliando em :
Agora, temos o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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