Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente lidando com equações lineares de coeficientes constantes e condições iniciais. Vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação e, em seguida, aplicar as condições iniciais para determinar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, encontramos as raízes da equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas raízes reais e distintas:
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Como o lado direito é
, vamos supor uma solução particular da forma:
(Escolhemos essa forma porque
não é solução da homogênea, e incluímos termos polinomiais em
para lidar com o polinômio multiplicativo.)
Calculando as derivadas:
Substituindo
,
e
na equação original e igualando os coeficientes, encontramos os valores de
e
. Após simplificar, obtemos:
Portanto, a solução particular é:
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Agora, diferenciando
:
Simplificando e avaliando em
:
Agora, temos o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Considere o sólido
que está acima do semi-cone
e dentro da esfera
. Descreva
em coordenadas esféricas.
Um cubo sólido no
octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos
e
. Sua densidade é
.
Encontre: a) A massa do sólido.
Resp:
Encontre: a) A massa do sólido.
Resp:
Considere o sólido
que está acima do semi-cone
e dentro da esfera
. Calcule o volume de
.
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
hélice circular sent,
hélice circular