Um cubo sólido no octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos e . Sua densidade é .
Encontre: a) A massa do sólido.
Resp:

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a massa de um cubo sólido localizado no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados e pelos planos , e . A densidade do cubo é dada por . Para calcular a massa, vamos precisar usar integrais triplas em cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a massa de um objeto tridimensional com densidade variável é calculada pela integral tripla da densidade sobre o volume do objeto. A fórmula geral para a massa é:

Passo 3

No nosso caso, o volume é o cubo no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e por , , . Portanto, os limites de integração para cada variável são:

Passo 4

Substituindo a função de densidade na integral, temos:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 6

Agora, integramos a expressão resultante em relação a :

Passo 7

Por fim, integramos a última expressão em relação a :

Resposta

A massa do sólido é .

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Uma lâmina fina ocupa toda a região . Determine o momento de inércia dessa lâmina em torno do eixo sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto até a origem.
Um cubo sólido no octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos e . Sua densidade é .
Encontre: c) Os momentos de inércia.
Resp:
Considere o sólido que está acima do semi-cone e dentro da esfera . Descreva em coordenadas esféricas.