Um cubo sólido no
octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos
e
. Sua densidade é
.
Encontre: a) A massa do sólido.
Resp:
Encontre: a) A massa do sólido.
Resp:
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a massa de um cubo sólido localizado no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados e pelos planos
,
e
. A densidade do cubo é dada por
. Para calcular a massa, vamos precisar usar integrais triplas em cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a massa de um objeto tridimensional com densidade variável é calculada pela integral tripla da densidade sobre o volume do objeto. A fórmula geral para a massa
é:
Passo 3
No nosso caso, o volume
é o cubo no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e por
,
,
. Portanto, os limites de integração para cada variável são:
Passo 4
Substituindo a função de densidade na integral, temos:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos a expressão resultante em relação a
:
Passo 7
Por fim, integramos a última expressão em relação a
:
Resposta
A massa do sólido é
.
Exercícios relacionados
Uma lâmina fina ocupa toda a região
. Determine o momento de inércia dessa lâmina em torno do eixo
sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto até a origem.
Um cubo sólido no
octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos
e
. Sua densidade é
.
Encontre: c) Os momentos de inércia.
Resp:
Encontre: c) Os momentos de inércia.
Resp:
Considere o sólido
que está acima do semi-cone
e dentro da esfera
. Descreva
em coordenadas esféricas.