Considere o sólido E que está acima do semi-cone z = raiz(x^2 + y^2) e dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2z. Calcule o volume de E.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido que está acima de um semicone dado por e dentro de uma esfera definida por . Nosso objetivo é encontrar o volume desse sólido .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de coordenadas cilíndricas, que são ótimas para lidar com formas que têm simetria circular, como cones e esferas. As coordenadas cilíndricas são , onde é a distância do ponto ao eixo , é o ângulo em torno do eixo , e é a altura.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações do semicone e da esfera em coordenadas cilíndricas.
O semicone em coordenadas cilíndricas fica:
A equação da esfera pode ser rearranjada para completar o quadrado:
Isso mostra que a esfera tem centro em e raio 1.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os limites de integração para , e .
Como a esfera é simétrica em torno do eixo , varia de a .
Para , vamos determinar o intervalo onde o semicone e a esfera se intersectam. Igualando do semicone na esfera:
Expandindo:
Então, ou .
Portanto, varia de 0 a 1.
Para , no sólido , está acima do semicone ( ) e abaixo da esfera. Da equação da esfera em coordenadas cilíndricas:
Então, varia de a .

Passo 4

Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume de :
Aqui, o extra na integral representa o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a :
Então, nossa integral se torna:

Passo 6

Agora, integramos em relação a . Vamos quebrar a integral em três partes:
Calculando cada parte:
  1. Para , fazemos a substituição , :
Então, somando as partes:

Passo 7

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é igual a unidades cúbicas.

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