Uma lâmina fina ocupa toda a região
. Determine o momento de inércia dessa lâmina em torno do eixo
sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto até a origem.
Passo 1
Resumo da Questão e Conceitos Envolvidos
Estamos lidando com um problema de momento de inércia de uma lâmina fina. A lâmina ocupa uma região definida por
. Queremos calcular o momento de inércia dessa lâmina em torno do eixo
.
Conteúdo da Matéria:
- Momento de Inércia: Mede a distribuição da massa em relação a um eixo de rotação.
- Densidade Variável: A densidade é proporcional à distância do ponto até a origem, ou seja,
, onde . - Coordenadas Polares: Facilita o cálculo em regiões circulares ou angulares.
O que Vamos Precisar:
- Converter a região
para coordenadas polares. - Expressar a densidade em coordenadas polares.
- Utilizar a fórmula do momento de inércia em coordenadas polares.
Passo 2
Convertendo a Região
para Coordenadas Polares
Em coordenadas polares, temos:
-
-
-
-
é o ângulo com o eixo .
A região
é definida por:
-
��� -
⇒ ⇒
Então, em coordenadas polares,
é:
Passo 3
Expressando a Densidade em Coordenadas Polares
A densidade
é proporcional à distância do ponto até a origem, então:
onde
é a constante de proporcionalidade.
Passo 4
Fórmula do Momento de Inércia em Coordenadas Polares
O momento de inércia em torno do eixo
é dado por:
Em coordenadas polares:
-
- O elemento de área
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Calculando a Integral em Relação a
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Calculando a Integral em Relação a
Agora, integramos em relação a
:
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Aplicando os limites:
Passo 7
Obtendo a Expressão Final para
Substituindo de volta:
Resposta
O momento de inércia da lâmina em torno do eixo
é:
Exercícios relacionados
Um cubo sólido no
octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos
e
. Sua densidade é
.
Encontre: c) Os momentos de inércia.
Resp:
Encontre: c) Os momentos de inércia.
Resp:
Um cubo sólido no
octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos
e
. Sua densidade é
.
Encontre: b) .
Resp:
Encontre: b)
Resp:
Um cubo sólido no
octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos
e
. Sua densidade é
.
Encontre: a) A massa do sólido.
Resp:
Encontre: a) A massa do sólido.
Resp:
Considere o sólido
que está acima do semi-cone
e dentro da esfera
. Descreva
em coordenadas esféricas.