Uma lâmina fina ocupa toda a região . Determine o momento de inércia dessa lâmina em torno do eixo sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto até a origem.

Passo 1

Resumo da Questão e Conceitos Envolvidos
Estamos lidando com um problema de momento de inércia de uma lâmina fina. A lâmina ocupa uma região definida por . Queremos calcular o momento de inércia dessa lâmina em torno do eixo .
Conteúdo da Matéria:
  • Momento de Inércia: Mede a distribuição da massa em relação a um eixo de rotação.
  • Densidade Variável: A densidade é proporcional à distância do ponto até a origem, ou seja, , onde .
  • Coordenadas Polares: Facilita o cálculo em regiões circulares ou angulares.
O que Vamos Precisar:
  • Converter a região para coordenadas polares.
  • Expressar a densidade em coordenadas polares.
  • Utilizar a fórmula do momento de inércia em coordenadas polares.

Passo 2

Convertendo a Região para Coordenadas Polares
Em coordenadas polares, temos:
  • é o ângulo com o eixo .
A região é definida por:
  • ���
Então, em coordenadas polares, é:

Passo 3

Expressando a Densidade em Coordenadas Polares
A densidade é proporcional à distância do ponto até a origem, então:
onde é a constante de proporcionalidade.

Passo 4

Fórmula do Momento de Inércia em Coordenadas Polares
O momento de inércia em torno do eixo é dado por:
Em coordenadas polares:
  • O elemento de área
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Calculando a Integral em Relação a
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 6

Calculando a Integral em Relação a
Agora, integramos em relação a :
Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Aplicando os limites:

Passo 7

Obtendo a Expressão Final para
Substituindo de volta:

Resposta

O momento de inércia da lâmina em torno do eixo é:

Exercícios relacionados

Um cubo sólido no octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos e . Sua densidade é .
Encontre: c) Os momentos de inércia.
Resp:
Um cubo sólido no octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos e . Sua densidade é .
Encontre: b) .
Resp:
Um cubo sólido no octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos e . Sua densidade é .
Encontre: a) A massa do sólido.
Resp:
Considere o sólido que está acima do semi-cone e dentro da esfera . Descreva em coordenadas esféricas.