Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
hélice circular x = 2 cos t, y = 4 t, z = 2 sent, t in [0, pi/2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que reparametrizar pelo comprimento de arco uma curva dada pelas equações paramétricas:
O que precisamos saber: Reparametrização pelo comprimento de arco significa reescrever a curva em termos de , que representa a distância percorrida ao longo da curva desde o ponto inicial. Para fazer isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e entender como relacionar com o parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão para o comprimento de arco da curva desde até um ponto genérico . A fórmula do comprimento de arco para uma curva paramétrica é:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das funções , e em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Mas notamos que houve um erro na simplificação. Vamos corrigir:
Na verdade:
Porém, isso não simplifica de forma útil. Então, podemos fatorar 4:
Parece que não simplificará facilmente, então vamos seguir com a integral como está.

Passo 6

Vamos calcular a integral de :
Infelizmente, essa integral não tem uma solução elementar simples, então vamos tentar uma aproximação ou considerar se há algum erro na parametrização inicial.

Passo 7

Reavaliando a parametrização, percebemos que é constante, o que significa que a curva está no plano . Vamos então simplificar a abordagem focando no movimento no plano .
A velocidade ao longo da curva é dada por:

Passo 8

Então, o comprimento de arco até o ponto é:
Como essa integral é complicada, vamos considerar uma substituição ou uma abordagem numérica. No entanto, para propósitos dessa reparametrização, podemos expressar em termos de de forma implícita.

Resposta

A reparametrização pelo comprimento de arco da curva é dada por:
onde é a função inversa da integral:
Ou seja, é expresso em função de através da equação acima.

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