Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
hélice circular
sent,
hélice circular
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que reparametrizar pelo comprimento de arco uma curva dada pelas equações paramétricas:
O que precisamos saber: Reparametrização pelo comprimento de arco significa reescrever a curva em termos de
, que representa a distância percorrida ao longo da curva desde o ponto inicial. Para fazer isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e entender como relacionar
com o parâmetro
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a expressão para o comprimento de arco
da curva desde
até um ponto genérico
. A fórmula do comprimento de arco para uma curva paramétrica
é:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das funções
,
e
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Mas notamos que houve um erro na simplificação. Vamos corrigir:
Na verdade:
Porém, isso não simplifica de forma útil. Então, podemos fatorar 4:
Parece que não simplificará facilmente, então vamos seguir com a integral como está.
Passo 6
Vamos calcular a integral de
:
Infelizmente, essa integral não tem uma solução elementar simples, então vamos tentar uma aproximação ou considerar se há algum erro na parametrização inicial.
Passo 7
Reavaliando a parametrização, percebemos que
é constante, o que significa que a curva está no plano
. Vamos então simplificar a abordagem focando no movimento no plano
.
A velocidade ao longo da curva é dada por:
Passo 8
Então, o comprimento de arco até o ponto
é:
Como essa integral é complicada, vamos considerar uma substituição ou uma abordagem numérica. No entanto, para propósitos dessa reparametrização, podemos expressar
em termos de
de forma implícita.
Resposta
A reparametrização pelo comprimento de arco da curva é dada por:
onde
é a função inversa da integral:
Ou seja,
é expresso em função de
através da equação acima.
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que está acima do semi-cone
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.
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Se
for contínua em
, mostre que